Punkty stałe grup izometrii w przestrzeni euklidesowej

Punkt stały grupy izometrii to punkt, który jest punktem stałym dla każdej izometrii w grupie. Dla dowolnej grupy izometrii w przestrzeni euklidesowej zbiór punktów stałych jest albo przestrzenią pustą, albo przestrzenią afiniczną .

Dla obiektu każdy unikalny środek i, bardziej ogólnie, każdy punkt o unikalnych właściwościach w stosunku do obiektu jest stałym punktem jego grupy symetrii .

W szczególności dotyczy to środka ciężkości figury, jeśli istnieje. W przypadku ciała fizycznego, jeśli dla symetrii bierze się pod uwagę nie tylko kształt, ale także gęstość, to dotyczy to środka masy .

Jeżeli zbiór punktów stałych grupy symetrii obiektu jest singletonem, to obiekt ten ma określony środek symetrii . Środek ciężkości i środek masy, jeśli są zdefiniowane, to ten punkt. Innym znaczeniem „środka symetrii” jest punkt, w odniesieniu do którego ma zastosowanie symetria inwersji. Taki punkt nie musi być unikalny; jeśli tak nie jest, istnieje symetria translacyjna , stąd istnieje nieskończenie wiele takich punktów. Z drugiej strony, w przypadku np. C _3h i D ₂ mamy środek symetrii w pierwszym sensie, ale nie ma inwersji.

Jeśli grupa symetrii obiektu nie ma punktów stałych, to obiekt jest nieskończony, a jego środek ciężkości i środek masy są niezdefiniowane.

Jeśli zbiorem stałych punktów grupy symetrii obiektu jest linia lub płaszczyzna, to środek ciężkości i środek masy obiektu, jeśli jest zdefiniowany, oraz każdy inny punkt, który ma unikalne właściwości w stosunku do obiektu, leżą na tej prostej lub samolot.

1D

Linia: Tylko trywialna grupa izometrii pozostawia całą linię stałą.

Punkt: Grupy utworzone przez odbicie pozostawiają stały punkt.

2D

Płaszczyzna: Tylko trywialna grupa izometrii C ₁ pozostawia całą płaszczyznę nieruchomą.

Linia: C _s w odniesieniu do dowolnej linii pozostawia tę linię stałą.

Punkt Grupy: punktów w dwóch wymiarach względem dowolnego punktu pozostawiają ten punkt stały.

3D

Przestrzeń: Tylko trywialna grupa izometrii C ₁ pozostawia całą przestrzeń stałą.

Płaszczyzna: C _s względem płaszczyzny pozostawia tę płaszczyznę nieruchomą.

Linia

Grupy izometrii wychodzące z ustalonej linii to izometrie, które w każdej płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej mają wspólne grupy punktów 2D w dwóch wymiarach względem punktu przecięcia prostej i płaszczyzn.

C _n ( n > 1 ) i C _{n v} ( n > 1 )
symetria cylindryczna bez symetrii odbicia w płaszczyźnie prostopadłej do osi
przypadki, w których grupa symetrii jest nieskończonym podzbiorem grupy symetrii cylindrycznej

Punkt: Wszystkie pozostałe grupy punktów w trzech wymiarach

Brak punktów stałych: Grupa izometrii zawiera translacje lub operację śrubową.

Dowolny wymiar

Punkt: Jednym z przykładów grupy izometrii, stosowanej w każdym wymiarze, jest grupa generowana przez odwrócenie w punkcie. N-wymiarowy równoległościan jest przykładem obiektu niezmiennego w przypadku takiej inwersji.

Slavik V. Jablan, Symetria, ozdoba i modułowość , tom 30 serii K & E o węzłach i wszystkim, World Scientific, 2002. ISBN 9812380809