Grupy punktów w dwóch wymiarach

Bauhinia blakeana na fladze Hongkongu ma symetrię _C5 ; gwiazda na każdym płatku ma symetrię D ₅ .

W geometrii dwuwymiarowa punktów grupa lub grupa rozet to grupa symetrii geometrycznych ( izometrii ), które utrzymują co najmniej jeden punkt na płaszczyźnie. Każda taka grupa jest podgrupą grupy ortogonalnej O(2), w tym samej O(2). Jego elementami są obroty i odbicia, a każda taka grupa zawierająca tylko obroty jest podgrupą specjalnej grupy ortogonalnej SO(2), w tym samego SO(2). Ta grupa jest izomorficzna z R/Z i pierwszą grupą unitarną , U(1), grupa znana również jako grupa kołowa .

Dwuwymiarowe grupy punktów są ważne jako podstawa osiowych trójwymiarowych grup punktów , z dodatkiem odbić we współrzędnych osiowych. Są również ważne w symetrii organizmów, takich jak rozgwiazdy i meduzy , oraz części organizmów, takich jak kwiaty .

Dyskretne grupy

Istnieją dwie rodziny dyskretnych dwuwymiarowych grup punktowych i są one określone za pomocą parametru n , który jest rzędem grupy obrotów w grupie.

Grupa	Międzynarodowy	Orbifold	Coxeter		Zamówienie	Opis
C n	N	N•	[n] +		N	Cykliczne: n -krotne obroty. Grupa abstrakcyjna Z n , grupa liczb całkowitych podlegających dodaniu modulo n .
D n	n m	*N•	[N]		2 przyp	Dwuścienny: n -krotne obroty i n -krotne odbicia. Grupa abstrakcyjna Dih n , grupa dwuścienna .

Intl odnosi się do notacji Hermanna-Mauguina lub notacji międzynarodowej, często używanej w krystalografii . W nieskończonej granicy grupy te stają się jednowymiarowymi grupami liniowymi .

Jeśli grupa jest symetrią dwuwymiarowej sieci lub siatki, to krystalograficzne twierdzenie restrykcyjne ogranicza wartość n do 1, 2, 3, 4 i 6 dla obu rodzin. Istnieje zatem 10 dwuwymiarowych krystalograficznych grup punktowych :

• do ₁ , do ₂ , do ₃ , do ₄ , do ₆ ,
• re ₁ , re ₂ , re ₃ , re ₄ , re ₆

Grupy mogą być skonstruowane w następujący sposób:

• Cn . _{_} Generowany przez element zwany także C _n , który odpowiada obrotowi o kąt 2π/ n . Jego elementami są E (tożsamość), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , odpowiadające kątom obrotu 0, 2π/ n , 4 π/ n , ..., 2 ( n − 1) π/ n .
• Dn . _{_} Generowane przez element C _n i odbicie σ. Jego elementami są elementy grupy C _{n , do których} dodano elementy σ, C _n σ, C _n ² σ, ..., C _n ^{n −1 σ.} Te dodatkowe odpowiadają odbiciom w poprzek linii o kątach orientacji 0, π/ n , 2 π/ n , ..., ( n − 1) π/ n . Dn jest więc półprostym iloczynem Cn i grupy (E,σ _{) .}

Wszystkie te grupy mają odrębne grupy abstrakcyjne, z wyjątkiem C2 _i D1 _, które mają wspólną grupę abstrakcyjną _Z2 . Wszystkie grupy cykliczne są abelowe lub przemienne, ale tylko dwie z grup dwuściennych to: D ₁ ~ Z ₂ i D ₂ ~ Z ₂ × Z ₂ . W rzeczywistości D ₃ jest najmniejszą grupą nieabelową.

Dla parzystego n symbol Hermanna-Mauguina n m jest skrótem pełnego symbolu n mm, jak wyjaśniono poniżej. Litera n w symbolu HM oznacza n -krotne obroty, podczas gdy m oznacza płaszczyzny odbicia lub zwierciadła.

Parzystość n	Pełny międzynarodowy	Linie odbicia dla regularnego wielokąta
nawet n	n mm	wierzchołek do wierzchołka, środek krawędzi do środka krawędzi (2 rodziny, 2 m)
nieparzysty rz	n m	wierzchołek do środka krawędzi (1 rodzina, 1 m)

Bardziej ogólne grupy

Grupy te są łatwo konstruowane za pomocą dwuwymiarowych macierzy ortogonalnych .

Ciągła grupa cykliczna SO(2) lub C _∞ i jej podgrupy mają elementy będące macierzami rotacji:

${\ Displaystyle R (\ teta) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ teta & - \ sin \ teta \\\ grzech \ theta &\cos \theta \\\end{bmacierz}}}$

gdzie SO(2) ma jakiekolwiek możliwe θ. Nic dziwnego, że wszystkie SO (2) i jego podgrupy są abelowe; dodanie kątów obrotu dojazdów.

Dla dyskretnych grup cyklicznych C _n , elementy C _n ^k = R(2π k / n )

Ciągła grupa dwuścienna O(2) lub D _∞ i jej podgrupy z odbiciami mają elementy, które obejmują nie tylko macierze rotacji, ale także macierze odbić:

${\ Displaystyle S (\ teta) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ teta i \ grzech \ teta \\\ grzech \ teta &-\cos \theta \\\end{bmacierz}}}$

gdzie O(2) ma dowolne możliwe θ. Jednak jedynymi abelowymi podgrupami O(2) z odbiciami są D ₁ i D ₂ .

Dla dyskretnych grup dwuściennych D _n , elementy C _n ^k σ = S(2π k / n )

Kiedy używa się współrzędnych biegunowych, związek tych grup z jednowymiarowymi grupami symetrii staje się oczywisty.

Rodzaje podgrup SO(2):

• skończone podgrupy cykliczne C _n ( n ≥ 1); dla każdego n istnieje jedna grupa izometrii typu grupy abstrakcyjnej _Zn
• grupy skończenie generowane , $;$ których każda jest izomorficzna z jedną z postaci Z _n generowanych przez C ⁿ i m niezależnych obrotów z _niewymierną liczbą zwojów i m , n ≥ 1 dla każdej pary ( m , n ) istnieje niezliczona ilość grup izometrii, wszystkie takie same jak grupa abstrakcyjna; dla pary (1, 1) grupa jest cykliczna.
• inne policzalne podgrupy. Na przykład dla liczby całkowitej n grupa generowana przez wszystkie obroty o liczbę obrotów równą ujemnej potędze liczby całkowitej n
• niezliczone podgrupy, w tym sama SO(2).

Dla każdej podgrupy SO(2) istnieje odpowiednia nieprzeliczalna klasa podgrup O(2), które są wzajemnie izomorficzne jako grupa abstrakcyjna: każda z podgrup w jednej klasie jest generowana przez pierwszą wymienioną podgrupę i pojedyncze odbicie w linia przez początek. Są to (uogólnione) grupy dwuścienne , w tym skończone D _n ( n ≥ 1) typu grup abstrakcyjnych Dihn _n . Dla n = 1 powszechnym zapisem jest C _s , typu grupy abstrakcyjnej Z ₂ .

Jako topologiczne podgrupy O(2) tylko skończone grupy izometrii oraz SO(2) i O(2) są zamknięte.

Grupy te dzielą się na dwie odrębne rodziny, w zależności od tego, czy składają się tylko z obrotów , czy zawierają odbicia . Grupy cykliczne Cn (grupa abstrakcyjna typu Zn ₎ składają się z obrotów o 360°/ n i wszystkich wielokrotności całkowitych _. Na przykład czworonożny stołek ma grupę symetrii C ₄ , na którą składają się obroty o 0°, 90°, 180° i 270°. Grupa symetrii kwadratu należy do rodziny grup dwuściennych , _Dn (grupa abstrakcyjna typu Dih _n ), zawierająca tyle odbić, ile obrotów. Nieskończona symetria obrotowa koła implikuje również symetrię odbicia, ale formalnie grupa okręgów S ₁ różni się od Dih(S ₁ ), ponieważ ta ostatnia wyraźnie zawiera odbicia.

Nieskończona grupa nie musi być ciągła; na przykład mamy grupę wszystkich całkowitych wielokrotności obrotu o 360°/ √ 2 , która nie obejmuje obrotu o 180°. W zależności od zastosowania, jednorodność do dowolnie drobnego poziomu szczegółowości w kierunku poprzecznym może być uważana za równoważną pełnej jednorodności w tym kierunku, w którym to przypadku te grupy symetrii można zignorować.

C _n i D _n dla n = 1, 2, 3, 4 i 6 można łączyć z symetrią translacyjną, czasami na więcej niż jeden sposób. W ten sposób z tych 10 grup powstaje 17 grup tapet .

Grupy symetrii

Grupy symetrii 2D odpowiadają grupom izometrii, z tym wyjątkiem, że symetrię według O(2) i SO(2) można wyróżnić tylko w uogólnionej koncepcji symetrii mającej zastosowanie do pól wektorowych .

Ponadto, w zależności od zastosowania, jednorodność aż do dowolnie drobnych szczegółów w kierunku poprzecznym może być uważana za równoważną pełnej jednorodności w tym kierunku. To znacznie upraszcza kategoryzację: możemy ograniczyć się do zamkniętych podgrup topologicznych O(2): skończonych i O(2) ( symetria kołowa ) oraz pól wektorowych SO(2).

Grupy te odpowiadają również jednowymiarowym grupom symetrii , gdy są owinięte w okrąg.

Kombinacje z symetrią translacyjną

E (2) jest półprostym iloczynem O ( 2) i grupy translacji T . Innymi słowy, O (2) jest podgrupą E (2 ) izomorficzną z grupą ilorazową E (2) przez T :

O (2) ${\ Displaystyle \ cong}$ mi (2) / T

Istnieje „naturalny” suriekcyjny homomorfizm grupy p : E (2) → E (2) / T , wysyłający każdy element g z E (2) do cosetu T , do którego należy g , czyli: p ( g ) = gT , czasami nazywany projekcją kanoniczną E (2) na E (2) / T lub O (2). Jego jądro jest T. _

Dla każdej podgrupy E (2) możemy rozważyć jej obraz pod p : grupę punktową składającą się z kozbiorów, do których należą elementy podgrupy, innymi słowy grupę punktową otrzymaną przez pominięcie translacyjnych części izometrii. Dla każdej dyskretnej podgrupy E (2), ze względu na krystalograficzne twierdzenie restrykcyjne , ta grupa punktowa jest albo C _n , albo typu D _n dla n = 1, 2, 3, 4 lub 6.

C _n i D _n dla n = 1, 2, 3, 4 i 6 można łączyć z symetrią translacyjną, czasami na więcej niż jeden sposób. W ten sposób z tych 10 grup powstaje 17 grup tapet , a cztery grupy z n = 1 i 2 dają również 7 grup fryzów .

Dla każdej z grup tapet p1, p2, p3, p4, p6, obraz pod p wszystkich grup izometrii (tj. „rzuty” na E (2) / T lub O (2)) są równe odpowiednim C _n ; _{również dwie grupy fryzów} odpowiadają C1 i C2 .

Każda z grup izometrii p6m jest odwzorowywana na jedną z grup punktowych _typu D6 . W przypadku pozostałych 11 grup tapet każda grupa izometrii jest odwzorowywana na jedną z grup punktów typu D ₁ , D ₂ , D ₃ lub D ₄ . _{Również pięć} grup fryzów odpowiada D1 i D2 .

Dla danej heksagonalnej sieci translacji istnieją dwie różne grupy D ₃ , dające początek P31m i p3m1. Dla każdego z typów D ₁ , D ₂ i D ₄ rozróżnienie odpowiednio między grupami tapet 3, 4 i 2 jest określone przez wektor translacji związany z każdym odbiciem w grupie: ponieważ izometrie są w tym samym zestawie niezależnie od składowych translacyjnych, odbicie i odbicie poślizgowe z tym samym lustrem są w tym samym łóżku. Zatem grupy izometrii np. typu p4m i p4g są odwzorowywane na grupy punktowe _typu D4 .

Dla danej grupy izometrii koniugaty translacji w grupie przez elementy grupy generują grupę translacji (sieć ) — czyli podgrupę grupy izometrii, która zależy tylko od translacji, od której zaczęliśmy, oraz punktu grupa związana z grupą izometrii. Dzieje się tak, ponieważ koniugat translacji przez odbicie poślizgowe jest taki sam, jak w przypadku odpowiedniego odbicia: wektor translacji jest odbijany.

Jeśli grupa izometrii zawiera n - krotną rotację, to sieć ma n -krotną symetrię dla parzystych n i 2 n -krotną dla nieparzystych n . Jeśli w przypadku dyskretnej grupy izometrii zawierającej translację zastosujemy to do translacji o minimalnej długości, to biorąc pod uwagę wektorową różnicę translacji w dwóch sąsiednich kierunkach, wynika, że ​​n ≤ 6, a dla n nieparzystych , że 2 n ≤ 6, stąd n = 1, 2, 3, 4 lub 6 ( krystalograficzne twierdzenie restrykcyjne ).

Zobacz też

• Grupa punktowa
• Grupy punktów w trzech wymiarach
• Grupy punktów w czterech wymiarach
• Jednowymiarowa grupa symetrii

Linki zewnętrzne

• [1] , Transformacje geometryczne i grupy tapet: symetrie wzorów geometrycznych (dyskretne grupy izometrii), autor: Lance Drager.
• [2] Grupy punktów i systemy kryształów, Yi-Shu Wei, s. 4–5
• Centrum geometrii: 2.1 Wzory symetrii we współrzędnych kartezjańskich (dwa wymiary)