Geodezja jako przepływy hamiltonowskie

W matematyce równania geodezyjne są nieliniowymi równaniami różniczkowymi drugiego rzędu i są powszechnie przedstawiane w postaci równań ruchu Eulera-Lagrange'a . Jednak można je również przedstawić jako zbiór sprzężonych równań pierwszego rzędu, w postaci równań Hamiltona . To ostatnie sformułowanie zostało opracowane w tym artykule.

Przegląd

Często mówi się, że geodezja to „linie proste w zakrzywionej przestrzeni”. Stosując podejście Hamiltona-Jacobiego do równania geodezyjnego , temu stwierdzeniu można nadać bardzo intuicyjne znaczenie: geodezja opisuje ruchy cząstek, na które nie działają żadne siły. Dobrze wiadomo, że w płaskiej przestrzeni cząstka poruszająca się po linii prostej będzie nadal poruszać się po linii prostej, jeśli nie będzie na nią oddziaływać żadna siła zewnętrzna; to jest pierwsze prawo Newtona . $_$ opisujący taki jako p . _ To właśnie zasada zachowania pędu prowadzi do prostoliniowego ruchu cząstki. Na zakrzywionej powierzchni działają dokładnie te same idee, z tym wyjątkiem, że aby poprawnie zmierzyć odległości, należy użyć metryki Riemanna . Aby poprawnie zmierzyć pęd, należy użyć odwrotności metryki. Ruch cząstki swobodnej po zakrzywionej powierzchni ma nadal dokładnie taką samą postać jak powyżej, tj. składa się wyłącznie z członu kinetycznego . Wynikający z tego ruch jest nadal w pewnym sensie „linią prostą”, dlatego czasami mówi się, że geodezja to „linie proste w zakrzywionej przestrzeni”. Pomysł ten jest rozwinięty bardziej szczegółowo poniżej.

Geodezja jako zastosowanie zasady najmniejszego działania

Biorąc pod uwagę ( pseudo- ) riemannowską rozmaitość M , geodezyjną można zdefiniować jako krzywą wynikającą z zastosowania zasady najmniejszego działania . Równanie różniczkowe opisujące ich kształt można wyprowadzić, stosując zasady wariacyjne , minimalizując (lub znajdując ekstremum) energię krzywej . Biorąc pod uwagę gładką krzywą

${\ Displaystyle \ gamma: ja \ do M}$

który odwzorowuje przedział I linii liczb rzeczywistych na rozmaitość M , zapisujemy energię

${\ Displaystyle E (\ gamma) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {ja } g ({\ kropka {\ gamma}} (t), {\ kropka {\ gamma }} (t)) \, dt,}$

gdzie jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie ${\ kropka {\$$ja {\ displaystyle t \$$}} ($ } Tutaj $_$ tensorem _ _ _ _

Wykorzystując energię podaną powyżej jako działanie, można wybrać rozwiązanie równań Eulera-Lagrange'a lub równań Hamiltona-Jacobiego . Obie metody dają jako rozwiązanie równanie geodezyjne ; jednak równania Hamiltona-Jacobiego zapewniają lepszy wgląd w strukturę rozmaitości, jak pokazano poniżej. Jeśli chodzi o lokalne współrzędne na M , równanie geodezyjne (Eulera – Lagrange'a) ma postać

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {a}} {dt ^ {2}}} + \Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{dt}}{\frac {dx^{c}}{dt}}=0}$

gdzie x ^za ( t ) to współrzędne krzywej γ ( t ), ${\ Displaystyle \ Gamma _ {bc} ^ {a}}$ to symbole Christoffela , a powtarzające się indeksy oznaczają użycie sumowania konwencja .

Hamiltonowskie podejście do równań geodezyjnych

Geodezję można rozumieć jako hamiltonowskie przepływy specjalnego pola wektorowego Hamiltona zdefiniowanego w cotangensowej przestrzeni rozmaitości. Hamiltonian jest zbudowany z metryki na rozmaitości, a zatem jest formą kwadratową składającą się wyłącznie z terminu kinetycznego .

Równania geodezyjne to równania różniczkowe drugiego rzędu; można je ponownie wyrazić jako równania pierwszego rzędu, wprowadzając dodatkowe zmienne niezależne, jak pokazano poniżej. _, że sąsiedztwo współrzędnych U ze współrzędnymi xa indukuje lokalną trywializację

${\ Displaystyle T ^ {*} M | _ {U} \ simeq U \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$

przez mapę, która wysyła punkt

${\ Displaystyle \ eta \ w T_ {x} ^ {*} M | _ {U}}$

η $}}$ do punktu ${\ Displaystyle (x, p_ {a} )\w U\times \mathbb {R} ^{n}}$ . Następnie przedstaw hamiltonian as

${\ Displaystyle H (x, p) = {\ Frac {1} {2}} g ^ {ab} (x) p_ {a} p_ {b}.}$

Tutaj sol ^ab ( x ${\ Displaystyle \ delta _ {c} ^ {a}}$ jest odwrotnością tensora metrycznego : sol ^ab ( x ) sol _bc ( x ) = . Zachowanie tensora metrycznego przy przekształceniach współrzędnych implikuje, że H jest niezmiennikiem przy zmianie zmiennej. Równania geodezyjne można następnie zapisać jako

$\ Displaystyle {\ kropka {x}} ^ {a} = {\ Frac {\ częściowy H} {\ częściowy p_ {a}}} =g^{ab}(x)p_{b}}$

I

${\ Displaystyle {\ kropka {p}} _ {a} = - {\ Frac {\ częściowe H} {\ częściowe x ^ {a}}} = - {\ Frac {1} {2}} {\ Frac { \częściowe g^{bc}(x)}{\częściowe x^{a}}}p_{b}p_{c}.}$

Przepływ określony przez te równania nazywany jest przepływem kogeodezyjnym ; proste podstawienie jednego do drugiego daje równania Eulera-Lagrange'a, które dają przepływ geodezyjny po wiązce stycznej TM . Linie geodezyjne są rzutami integralnych krzywych przepływu geodezyjnego na rozmaitość M . To jest przepływ hamiltonowski , a hamiltonian jest stały wzdłuż geodezji:

${\ Displaystyle {\ Frac {dH} dt}}={\frac {\częściowy H}{\częściowy x^{a}}}{\kropka {x}}^{a}+{\frac {\częściowy H}{\częściowy p_{a}} }{\kropka {p}}_{a}=-{\kropka {p}}_{a}{\kropka {x}}^{a}+{\kropka {x}}^{a}{\ kropka {p}}_{a}=0.}$

W ten sposób przepływ geodezyjny dzieli wiązkę kostyczną na zestawy poziomów o stałej energii

${\ Displaystyle M_ {E} = \ {(x, p) \ w T ^ {*} M: H (x ,p)=E\}}$

dla każdej energii E ≥ 0, tak że

${\ Displaystyle T ^ {*} M = \ bigcup _ {E \ geq 0} M_ {E}}$ .

• Terence Tao, The Euler-Arnold Equation , 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ Zobacz dyskusję na początku
•   Ralph Abraham i Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X Patrz rozdział 2.7 .
•   BA Dubrovin, AT Fomenko i SP Novikov, Modern Geometry: Methods and Applications, Part I , (1984) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-90872-2 Patrz rozdział 5, w szczególności rozdział 33 .