Przesunięcie osi

W matematyce translacja osi w dwóch wymiarach jest odwzorowaniem z kartezjańskiego układu współrzędnych xy na kartezjański układ współrzędnych x'y' , w którym oś x' jest równoległa do osi x i oddalona jest o k jednostek, a y oś ' jest równoległa do osi y , a h jest oddalona o jednostki. Oznacza to, że pochodzenie O' nowego układu współrzędnych ma współrzędne ( h , k ) w pierwotnym układzie. Przyjmuje się , że dodatnie x' i y' są takie same jak dodatnie kierunki x i y . Punkt P ma współrzędne ( x , y ) względem pierwotnego układu i współrzędne ( x' , y' ) względem nowego układu, gdzie

{\ Displaystyle x = x '+ h}

i

{\ Displaystyle y = y' + k}

()

lub równoważnie

{\ Displaystyle x' = xh}

i

{\ displaystyle y' = yk.}

()

W nowym układzie współrzędnych punkt P wydaje się być przesunięty w przeciwnym kierunku. Na przykład, jeśli xy zostanie przesunięty o odległość h w prawo i o odległość k w górę, wówczas P będzie się wydawać, że został przesunięty o odległość h w lewo i o odległość k w dół w układzie x'y' . Translacja osi w więcej niż dwóch wymiarach jest definiowana podobnie. Translacja osi jest sztywną transformacją , ale nie a mapa liniowa . (Zobacz Transformacja afiniczna .)

Motywacja

Układy współrzędnych są niezbędne do badania równań krzywych metodami geometrii analitycznej . Aby skorzystać z metody geometrii współrzędnych, osie są umieszczane w dogodnym położeniu względem rozważanej krzywej. Na przykład, aby zbadać równania elips i hiperboli , ogniska są zwykle zlokalizowane na jednej z osi i są usytuowane symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Jeśli krzywa (hiperbola, parabola , elipsa itp.) nie jest znajduje się dogodnie względem osi, należy zmienić układ współrzędnych, aby umieścić krzywą w dogodnym i znanym miejscu i orientacji. Proces dokonywania tej zmiany nazywany jest transformacją współrzędnych .

Rozwiązania wielu problemów można uprościć poprzez translację osi współrzędnych w celu uzyskania nowych osi równoległych do pierwotnych.

Tłumaczenie przekrojów stożkowych

Poprzez zmianę współrzędnych równanie przekroju stożkowego można zapisać w postaci standardowej , z którą zwykle łatwiej jest pracować. Dla najbardziej ogólnego równania drugiego stopnia, które przyjmuje postać

{\ Displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}

(

{\ Displaystyle ZA}

,

{\ displaystyle B}

;

nie wszystkie zero)

()

zawsze można wykonać obrót osi w taki sposób, aby w nowym układzie równanie przybrało postać

{\ Displaystyle Ax ^ {2} + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}

(

{\ Displaystyle A}

{\ displaystyle C}

do nie oba zera);

()

to znaczy eliminując termin xy . Następnie translacja osi może zredukować równanie postaci ( 3 ) do równania tej samej postaci, ale z nowymi zmiennymi ( x' , y' ) jako współrzędnymi oraz z D i E równymi zeru (z pewnymi wyjątkami — na przykład parabole). Głównym narzędziem w tym procesie jest „uzupełnianie kwadratu”. W poniższych przykładach zakłada się, że obrót w osiach został już wykonany.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę równanie

{\ Displaystyle 9x ^ {2} + 25y ^ {2} + 18x-100y-116 = 0,}

korzystając z translacji osi, określ, czy miejscem geometrycznym równania jest parabola, elipsa czy hiperbola. Określ ogniska (lub ogniska), wierzchołki (lub wierzchołki) i ekscentryczność .

Rozwiązanie: Aby uzupełnić kwadrat w x i y , zapisz równanie w formularzu

{\ Displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x \ qquad) + 25 (y ^ {2} -4y \ qquad) = 116 .}

Uzupełnij kwadraty i zdobądź

{\ Displaystyle 9 (x ^ {2} + 2x + 1) + 25 (y ^ {2} -4y+4)=116+9+100}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow 9 (x + 1) ^ {2} + 25 (y-2) ^ {2} = 225.}

Definiować

{\ Displaystyle x '= x + 1}

i

{\ Displaystyle y' = y-2.}

Oznacza to, że tłumaczenie w równaniach ( 2 ) odbywa się za pomocą ${\ Displaystyle h = -1, k = 2.}$ Równanie w nowym układzie współrzędnych to

{\ Displaystyle 9x '^ {2} + 25y' ^ {2} = 225.}

()

Podziel równanie ( 5 ) przez 225, aby otrzymać

{\ Displaystyle {\ Frac {x' ^ {2}} {25}} + {\ Frac {y' ^ {2}} {9}} = 1,}

który jest rozpoznawalny jako elipsa z ${\ Displaystyle a = 5, b = 3, c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} = 16, c = 4, e = {\ tfrac {4} {5}}.}$ W system x'y' mamy: center ${\ Displaystyle (0,0)}$ ; wierzchołki ${\ Displaystyle (\ pm 5,0)}$ ; ogniska ${\ Displaystyle (\ pm 4,0).}$

W $_ \displaystyle (-1,2)}$ xy $_$ relacji _ ; wierzchołki ${\ Displaystyle (4,2), (-6,2)}$ ; ogniska ${\ Displaystyle (3,2) (-5,2)}$ ; ekscentryczność ${\ Displaystyle {\ tfrac {4} {5}}.}$

Uogólnienie na kilka wymiarów

Dla xyz -kartezjańskiego układu współrzędnych w trzech wymiarach załóżmy, że wprowadzony jest drugi kartezjański układ współrzędnych, z osiami x' , y' i z' tak położonymi, że oś x' jest równoległa do osi x i h jednostek od niej, oś y' jest równoległa do osi y i k jednostek od niej, a oś z' jest równoległa do osi z i l z niej jednostki. Punkt P w przestrzeni będzie miał współrzędne w obu układach. Jeśli jego współrzędne to ( x , y , z ) w pierwotnym układzie i ( x' , y' , z' ) w drugim układzie, równania

{\ Displaystyle x '= xh, \ qquad y' = yk, \ qquad z' = zl}

()

trzymać. Równania ( 6 ) określają translację osi w trzech wymiarach, gdzie ( h , k , l ) to współrzędne xyz nowego początku układu współrzędnych. Podobnie definiuje się translację osi w dowolnej skończonej liczbie wymiarów.

Translacja powierzchni czworokątnych

W trójprzestrzeni najbardziej ogólne równanie drugiego stopnia w x , yiz ma postać

{\ Displaystyle Ax ^ {2} + Przez ^ {2} +Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0,}

()

$_$ ilości _ Wszystkie punkty w przestrzeni spełniające takie równanie leżą na powierzchni . Każde równanie drugiego stopnia, które nie sprowadza się do walca, płaszczyzny, linii lub punktu, odpowiada powierzchni zwanej kwadratem.

Podobnie jak w przypadku płaskiej geometrii analitycznej, metodę translacji osi można wykorzystać do uproszczenia równań drugiego stopnia, uwidaczniając w ten sposób naturę niektórych powierzchni czworokątnych. Głównym narzędziem w tym procesie jest „uzupełnianie kwadratu”.

Przykład 2

Użyj translacji współrzędnych, aby zidentyfikować powierzchnię kwadratu

{\ Displaystyle x ^ {2} + 4y ^ {2} + 3z ^ {2} + 2x-8y + 9z = 10 .}

Rozwiązanie: Zapisz równanie w formie

{\ Displaystyle x ^ {2} + 2x \ qquad + 4 (y ^ {2} -2y \ qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}

Uzupełnij kwadrat, aby otrzymać

{\ Displaystyle (x + 1) ^ {2} + 4 (y-1) ^ {2} + 3 (z + {\ tfrac {3} {2}}) ^ {2} = 10 + 1 + 4 + { \tfrac {27}{4}}.}

Wprowadź translację współrzędnych

{\ Displaystyle x '= x + 1, \ qquad y' = y-1, \ qquad z' = z + {\ tfrac {3} {2}}.}

Równanie powierzchni przybiera postać

{\ Displaystyle x '^ {2} + 4y' ^ {2} + 3z' ^ {2} = {\ tfrac {87} {4} },}

co jest rozpoznawalne jako równanie elipsoidy .

Zobacz też

Tłumaczenie (geometria)

Notatki

^ Anton (1987 , s. 107)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 315)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 585–588)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 314–315)
^ Anton (1987 , s. 107)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 322)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 316)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 316–317)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 585–586)
^ Anton (1987 , s. 107)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 579)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 586)
^ Protter & Morrey (1970 , s. 586)

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (wyd. 5), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Rachunek z geometrią analityczną (wyd. 2), Czytanie: Addison-Wesley , LCCN 76087042

[1] Anton (1987 , s. 107)

[2] Protter & Morrey (1970 , s. 315)

[3] Protter & Morrey (1970 , s. 585–588)

[4] Protter & Morrey (1970 , s. 314–315)

[5] Anton (1987 , s. 107)

[6] Protter & Morrey (1970 , s. 322)

[7] Protter & Morrey (1970 , s. 316)

[8] Protter & Morrey (1970 , s. 316–317)

[9] Protter & Morrey (1970 , s. 585–586)

[10] Anton (1987 , s. 107)

[11] Protter & Morrey (1970 , s. 579)

[12] Protter & Morrey (1970 , s. 586)

[13] Protter & Morrey (1970 , s. 586)