Skośne współrzędne

Układ współrzędnych skośnych to krzywoliniowy układ współrzędnych , w którym powierzchnie współrzędnych nie są ortogonalne , w przeciwieństwie do współrzędnych ortogonalnych .

Praca ze współrzędnymi skośnymi jest zwykle bardziej skomplikowana w porównaniu ze współrzędnymi ortogonalnymi, ponieważ tensor metryczny będzie miał niezerowe składowe poza przekątną, co zapobiega wielu uproszczeniom we wzorach algebry tensorowej i rachunku tensorowego . Niezerowe składowe pozadiagonalne tensora metrycznego są bezpośrednim wynikiem nieortogonalności wektorów bazowych współrzędnych, ponieważ z definicji:

$\ Displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}}$

gdzie jest tensorem metrycznym i ${ \ Displaystyle \$${e} _ {i}}$ (kowariantnymi wektorami .

Te układy współrzędnych mogą być przydatne, jeśli geometria problemu dobrze pasuje do układu skośnego. Na przykład rozwiązanie równania Laplace'a w równoległoboku będzie najłatwiejsze, gdy zostanie wykonane we współrzędnych odpowiednio skośnych.

Współrzędne kartezjańskie z jedną osią skośną

Układ współrzędnych, w którym oś x została zagięta w kierunku osi z .

Najprostszym trójwymiarowym przypadkiem skośnego układu współrzędnych jest układ kartezjański , w którym jedna z osi (powiedzmy oś $x$ ) została wygięta o pewien kąt pozostając prostopadła do jednej z pozostałych dwóch osi. $o$ tym przykładzie oś x współrzędnej kartezjańskiej została wygięta w kierunku osi z , pozostając prostopadła do osi y .

Algebra i wielkości użyteczne

Niech ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$ odpowiednio być wektorami jednostkowymi wzdłuż $displaystyle$ , $y}$ i ${\ displaystyle z}$ . Reprezentują one kowariantną ; obliczenie ich iloczynów skalarnych daje tensor metryczny :

${\ Displaystyle [g_ {ij}] = {\ początek {pmatrix} 1 & 0 & \ sin (\ phi) \\ 0 & 1 & 0 \\\ sin (\ phi) & 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}, \ qquad [ g^{ij}]={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi)}}{\begin{pmatrix}1&0&-\sin(\phi)\\0&\cos ^{2}( \phi )&0\\-\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ quad g_ {13} = \ sałata \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2}} - \ phi \ prawej) = \sin(\phi)}$

I

${\ Displaystyle {\ sqrt {g}} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot (\ mathbf {e} _ {2} \times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi)}$

które są wielkościami, które będą przydatne później.

Kontrawariantna podstawa jest dana przez

${\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {1} = {\ Frac {\ mathbf {e} _ {2} \ razy \ mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi)} }}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {2} = {\ Frac {\ mathbf {e} _ {3} \ razy \ mathbf {e} _ {1}} {\ sqrt {g}}} = \ mathbf { mi} _ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {3} = {\ Frac {\ mathbf {e} _ {1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{ \cos(\phi)}}}$

Podstawa kontrawariantna nie jest zbyt wygodna w użyciu, jednak pojawia się w definicjach, więc należy ją wziąć pod uwagę. Preferujemy zapisywanie ilości w odniesieniu do bazy kowariantnej.

Ponieważ wszystkie wektory bazowe są stałe, dodawanie i odejmowanie wektorów będzie po prostu znajomym dodawaniem i odejmowaniem składowych. Teraz pozwól

$\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ suma _ {i} a ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ quad {\ mbox{i}}\quad \mathbf {b} =\suma _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}$

gdzie sumy oznaczają sumowanie wszystkich wartości indeksu (w tym przypadku i = 1, 2, 3). Składowe kontrawariantne i kowariantne tych wektorów mogą być powiązane przez

$jot {\ Displaystyle a ^ {i} = \ suma _ {j} a_ {j} g ^$

tak, aby wyraźnie

${\ Displaystyle a ^ {1} = {\ Frac {a_ {1} - \ sin (\ fi) a_ {3}} \ sałata ^ {2} (\ phi)}},}$

${\ Displaystyle a ^ {2} = a_ {2},}$

${\ Displaystyle a ^ {3} = {\ Frac {- \ sin (\ fi) a_ {1} + a_ {3}} {\ cos ^ {2} (\ fi)}}.}$

Iloczyn skalarny pod względem składowych kontrawariantnych wynosi wtedy

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\suma _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3 }b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})}$

i pod względem składników kowariantnych

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = {\ Frac {1} {\ cos ^ {2} (\ phi)}} [a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2}\cos ^{2}(\phi)+a_{3}b_{3}-\sin(\phi)(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})]. }$

Rachunek różniczkowy

Z definicji gradient funkcji skalarnej f wynosi

${\ Displaystyle \ nabla f = \ suma _ {i} \ mathbf {e } ^{i}{\frac {\częściowy f}{\częściowy q^{i}}}={\frac {\częściowy f}{\częściowy x}}\mathbf {e} ^{1}+{\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} \ mathbf {e} ^ {2} + {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe z}} \ mathbf {e} ^ {3}}$

gdzie ${\ displaystyle q_ {i}}$ to współrzędne x , y , z indeksowane. Uznając to za wektor zapisany w kategoriach kontrawariantnej podstawy, można go przepisać:

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ Frac {{\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} - \ sin (\ phi) {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe z}}} {\ cos (\phi)^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\częściowe f}{\częściowe y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\ sin(\phi){\frac {\częściowe f}{\częściowe x}}+{\frac {\częściowe f}{\częściowe z}}}{\cos(\phi)^{2}}}\mathbf {e}_{3}.}$

Rozbieżność wektora wynosi ${\ displaystyle \ mathbf {a}$ }

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {a} = {\ Frac {1} {\ sqrt {g}}} \ suma _ {i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy q ^ {i}}} \left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\częściowe a^{1}}{\częściowe x}}+{\frac {\częściowe a^{2}} {\częściowe y}}+{\frac {\częściowe a^{3}}{\częściowe z}}.}$

i tensora ZA $\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = {\ Frac {1} {\ sqrt {g}}} \ suma _ {i, j} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy q ^ {i} }}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\częściowe a^{ij}}{\częściowe q^{i}}}.}$

Laplace'a z f jest _

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f = {\ Frac {1} {\ cos (\ fi) ^ {2}}} \ lewo ({\ frac {\ częściowe ^ {2} }f}{\częściowy x^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}}-2\sin(\phi){\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy x\częściowy z}}\right)+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy y^{2}}}}$

a ponieważ baza kowariantna jest normalna i stała, wektor Laplacian jest tym samym, co składowy Laplacian wektora zapisanego w kategoriach bazy kowariantnej.

Chociaż zarówno iloczyn skalarny, jak i gradient są nieco nieporządne, ponieważ mają dodatkowe wyrazy (w porównaniu z systemem kartezjańskim), operator adwekcji , który łączy iloczyn skalarny z gradientem, okazuje się bardzo prosty:

${\ Displaystyle (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla) =\left(\sum _{i}a^{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}{\frac {\częściowy }{\częściowy q^{i}}} \mathbf {e} ^{i}\right)=\left(\sum _{i}a^{i}{\frac {\częściowy }{\częściowy q^{i}}}\right)}$

które można zastosować zarówno do funkcji skalarnych, jak i wektorowych, składowych, gdy są wyrażone w podstawie kowariantnej.

Wreszcie zwinięcie wektora to

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {a} = \ suma _ {i, j, k} \ mathbf$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ cos (\ phi)}} \ lewo (\ lewo (\ sin (\ phi) {\ Frac {\ częściowe a ^ {1}} {\ częściowe y}} + { \frac {\częściowe a^{3}}{\częściowe y}}-{\frac {\częściowe a^{2}}{\częściowe z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\ left({\frac {\częściowy a^{1}}{\częściowy z}}+\sin(\phi)\left({\frac {\częściowy a^{3}}{\częściowy z}}-{ \frac {\częściowe a^{1}}{\częściowe x}}\right)-{\frac {\częściowe a^{3}}{\częściowe x}}\right)\mathbf {e} _{2 }+\left({\frac {\częściowy a^{2}}{\częściowy x}}-{\frac {\częściowy a^{1}}{\częściowy y}}-\sin(\phi){ \frac {\częściowy a^{3}}{\częściowy y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$