Absolutny moment pędu

W meteorologii bezwzględny moment pędu odnosi się do momentu pędu w „absolutnym” układzie współrzędnych ( absolutny czas i przestrzeń ).

Wstęp

Moment pędu $L$ jest równy iloczynowi poprzecznemu położenia (wektora) $r$ cząstki (lub paczki płynu ) i jej bezwzględnego pędu liniowego $p$ , równego $m v$ , iloczynowi masy i prędkości. Matematycznie,

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ razy m \ mathbf {v}}

Definicja

Bezwzględny moment pędu sumuje moment pędu cząstki lub paczki płynu we względnym układzie współrzędnych i moment pędu tego względnego układu współrzędnych.

Meteorolodzy zazwyczaj wyrażają trzy składowe wektora prędkości $v = (u, v, w)$ (na wschód, na północ i do góry). Wielkość bezwzględnego momentu pędu $L$ na jednostkę masy $m$

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {\ mathbf {L}} {m}} \ prawej | = M = ur \ cos ( \phi )+\Omega r^{2}\cos ^{2}(\phi)}

Gdzie

$M$ oznacza bezwzględny moment pędu na jednostkę masy paczki płynu (w $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} m 2 / s$ ),
$r$ reprezentuje odległość od środka ziemi do paczki płynu (w $m$ ),
$u$ reprezentuje względną względem ziemi składową prędkości paczki płynu w kierunku wschodnim (w $m / s$ ),
$φ$ reprezentuje szerokość geograficzną (w $rad$ ) i
$Ω$ reprezentuje prędkość kątową obrotu Ziemi (w $rad / s$ , zwykle $2 π rad / 1 gwiezdny dzień \approx 72,921150 \times 10-6 rad / s)$ .

Pierwszy człon reprezentuje moment pędu działki względem powierzchni ziemi, który silnie zależy od pogody. Drugi człon reprezentuje moment pędu samej Ziemi na określonej szerokości geograficznej (zasadniczo stały przynajmniej w niegeologicznych skalach czasowych).

Aplikacje

W płytkiej troposferze Ziemi można w przybliżeniu $r \approx a$ , odległość między pakietem płynu a środkiem ziemi w przybliżeniu równa średniemu promieniowi Ziemi :

{\ Displaystyle M \ około ua \ sałata (\ varphi) + \ Omega a ^ {2} \ sałata ^ {2} (\ varphi) }

Gdzie

$a$ reprezentuje promień Ziemi (w $m$ , zwykle $6,371009 Mm$ )
$M$ oznacza bezwzględny moment pędu na jednostkę masy paczki płynu (w $m 2 / s$ ),
$u$ reprezentuje względną względem ziemi składową prędkości paczki płynu w kierunku wschodnim (w $m / s$ ),
$φ$ reprezentuje szerokość geograficzną (w $rad$ ) i
$Ω$ reprezentuje prędkość kątową obrotu Ziemi (w $rad / s$ , zwykle $2 π rad / 1 gwiezdny dzień \approx 72,921150 \times 10-6 rad / s)$ .

Na biegunie północnym i południowym (szerokość geograficzna $φ = \pm90° = π / 2 rad$ ) nie może istnieć żaden bezwzględny moment pędu ( $M = 0 m 2 / s$ , ponieważ $cos(\pm90°) = 0$ ). Jeśli płynny pakiet bez prędkości wiatru wschodniego ( $u 0 = 0 m / s$ ) rozpoczynający się na równiku ( $φ = 0 rad$ , więc $cos(φ) = cos(0 rad) = 1$ ) zachowuje swój moment pędu ( $0 M = M$ ) jako porusza się w kierunku bieguna, wtedy prędkość jego wiatru wschodniego dramatycznie wzrasta: $u 0 a cos(φ 0) + Ω a 2 cos 2 (φ 0) = u a cos (φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ . Po tych podstawieniach $Ω a 2 = u a cos(φ) + Ω a 2 cos 2 (φ)$ , lub po dalszym uproszczeniu $Ω a (1-cos 2 (φ)) = u cos (φ)$ . Rozwiązanie dla $u$ daje $Ω a (1 / cos(φ) - cos(φ)) = u$ . Jeśli $φ = 15°$ ( $cos(φ) = 1+ \sqrt 3 / 2 \sqrt 2$ ), to $72,921150 \times 10-6 rad / s \times 6,371009 Mm \times (2 \sqrt 2 / 1+ \sqrt 3 - 1+ \sqrt 3 / 2 \sqrt 2) \approx 32,2 m / s \approx u$ .

Strefowy gradient ciśnienia i naprężenia wirowe powodują moment obrotowy , który zmienia bezwzględny moment pędu paczek płynu.

Holton, James R.; Hakim, Gregory J. (2012), Wprowadzenie do meteorologii dynamicznej , 5, Waltham, Massachusetts: Academic Press , s. 342–343, ISBN 978-0-12-384866-6