Energia Dirichleta

W matematyce energia Dirichleta jest miarą zmienności funkcji . Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, jest to funkcjonał kwadratowy w przestrzeni Sobolewa $H 1$ . Energia Dirichleta jest ściśle powiązana z równaniem Laplace'a i nosi imię niemieckiego matematyka Petera Gustava Lejeune Dirichleta .

Definicja

Mając otwarty zbiór $Ω \subseteq R n$ i funkcję $u : Ω \to R$ energia Dirichleta funkcji u $jest$ liczbą rzeczywistą

{\ Displaystyle E [u] = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} \|\ nabla u (x)\|^{2}\,dx,}

gdzie $\nabla u : Ω \to R n$ oznacza pole wektora gradientu funkcji $u$ .

Właściwości i zastosowania

Ponieważ jest całką wielkości nieujemnej, energia Dirichleta sama w sobie jest nieujemna, tj. $E [u] \geq 0$ dla każdej funkcji $u$ .

$dla$ Laplace'a ${\ Displaystyle - \ Delta u (x) = 0}$ wszystkich , z zastrzeżeniem odpowiednich brzegowych jest równoważne rozwiązaniu wariacyjnego problem znalezienia funkcji $u$ , która spełnia warunki brzegowe i ma minimalną energię Dirichleta.

Takie rozwiązanie nazywa się funkcją harmoniczną i takie rozwiązania są przedmiotem badań w teorii potencjału .

W bardziej ogólnym ustawieniu, gdzie $Ω \subseteq R n$ jest zastąpione przez dowolną rozmaitość riemannowską $M$ , a $u : Ω \to R$ jest zastąpione przez $u : M \to Φ$ dla innej (różnej) rozmaitości riemannowskiej $Φ$ , energia Dirichleta jest dana przez sigma modelka . Rozwiązaniami równań Lagrange'a dla modelu sigma Lagrange'a są te funkcje $u$ , które minimalizują/maksymalizują energię Dirichleta. Ograniczenie tego ogólnego przypadku z powrotem do konkretnego przypadku $u : Ω \to R$ pokazuje po prostu, że równania Lagrange'a (lub równoważnie równania Hamiltona-Jacobiego ) dostarczają podstawowych narzędzi do uzyskiwania rozwiązań ekstremalnych.

Zobacz też

Lawrence C. Evans (1998). Równania różniczkowe cząstkowe . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0821807729 .