Rodzina stowarzyszona

Animacja przedstawiająca deformację helikoidy w katenoid, gdy zmienia się θ .

W geometrii różniczkowej powiązana rodzina (lub rodzina Bonnetów ) minimalnej powierzchni jest jednoparametrową rodziną minimalnych powierzchni, które mają te same dane Weierstrassa . To znaczy, jeśli powierzchnia ma reprezentację

${\ Displaystyle x_ {k} (\ zeta) = \ Re \ lewo \ {\ int _ {0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3}$

rodzina jest opisana przez

${\ Displaystyle x_ {k} (\ zeta, \ teta) = \ Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \ w [0,2\pi]}$

gdzie wskazuje część rzeczywistą $zespolonej$ .

Dla θ = π /2 powierzchnię nazywamy koniugatem powierzchni θ = 0.

Transformację można postrzegać jako lokalną rotację głównych kierunków krzywizny . Normalne powierzchni punktu ze stałym ζ pozostają niezmienione wraz ze zmianami θ ; sam punkt porusza się po elipsie.

Niektóre przykłady powiązanych rodzin powierzchni to: rodzina katenoidów i helikoidów , rodzina Schwarz P , Schwarz D i gyroid oraz pierwsza i druga rodzina powierzchni Scherka . Powierzchnia Ennepera jest sprzężona ze sobą: pozostaje niezmienna, gdy zmienia się θ .

Powierzchnie sprzężone mają tę właściwość, że każda linia prosta na powierzchni jest odwzorowywana na płaską geodezję na jej sprzężonej powierzchni i odwrotnie. Jeśli skrawek jednej powierzchni jest ograniczony linią prostą, to skrawek koniugatu jest ograniczony płaską linią symetrii. Jest to przydatne do konstruowania minimalnych powierzchni, przechodząc do przestrzeni sprzężonej: bycie ograniczonym przez płaszczyzny jest równoznaczne z byciem ograniczonym przez wielokąt.

Istnieją odpowiedniki powiązanych rodzin minimalnych powierzchni w przestrzeniach o wyższych wymiarach i rozmaitościach.