Minimalna powierzchnia Boura

Powierzchnia Boura.

Powierzchnia Boura, pomijając punkty o r <0,5, aby wyraźniej pokazać samoprzecięcia.

W matematyce minimalna powierzchnia Boura jest dwuwymiarową minimalną powierzchnią , osadzoną samoprzecięciami w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Jej nazwa pochodzi od Edmonda Boura , którego praca nad minimalnymi powierzchniami przyniosła mu w 1861 roku nagrodę matematyczną Francuskiej Akademii Nauk.

Opis

Powierzchnia Boura przecina się na trzech współpłaszczyznowych promieniach, spotykających się pod równymi kątami na początku przestrzeni. Promienie dzielą powierzchnię na sześć arkuszy, topologicznie równoważnych półpłaszczyznom; trzy arkusze leżą w półprzestrzeni powyżej płaszczyzny promieni, a trzy poniżej. Cztery arkusze są wzajemnie styczne wzdłuż każdego promienia.

Równanie

Punkty na powierzchni można sparametryzować we współrzędnych biegunowych parą liczb ( r , θ ) . Każda taka para odpowiada punktowi w trzech wymiarach zgodnie z równaniami parametrycznymi

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x (r, \ teta) & = r \ cos (\ teta) - {\ tfrac {1} {2}} r ^ {2} \ cos (2 \ teta) \\ y(r,\theta )&=-r\sin(\theta )(r\cos(\theta )+1)\\z(r,\theta )&={\tfrac {4}{3}}r ^{3/2}\cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right).\end{wyrównane}}}$$

Powierzchnię można również wyrazić jako rozwiązanie równania wielomianowego rzędu 16 we współrzędnych kartezjańskich przestrzeni trójwymiarowej.

Nieruchomości

Weierstrassa -Ennepera , metoda przekształcania pewnych par funkcji na liczbach zespolonych w minimalne powierzchnie, tworzy tę powierzchnię dla dwóch funkcji ${\ displaystyle f (z) = 1,g(z)={\sqrt {z}}}$ . Bour udowodnił, że powierzchnie z tej rodziny można rozwinąć na powierzchnię obrotową .