Równanie ultrahiperboliczne

W dziedzinie matematycznej równań różniczkowych cząstkowych , równanie ultrahiperboliczne jest równaniem różniczkowym cząstkowym dla nieznanej funkcji skalarnej u 2 n zmiennych x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n postaci

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}}} + \ cdots + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x_ {n }^{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}u}{\częściowy y_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\częściowy ^{2}u}{ \częściowy y_{n}^{2}}}=0.\qquad \qquad (1)}

Bardziej ogólnie, jeśli a jest dowolną formą kwadratową w 2 n zmiennych z sygnaturą ( n , n ), to dowolna PDE, której główną częścią jest ${\ Displaystyle a_ {ij} u_ {x_ {i} x_ Mówi się, że {j}}}$ jest ultrahiperboliczny. Każde takie równanie można zapisać w powyższej postaci za pomocą zamiany zmiennych.

Równanie ultrahiperboliczne badano z wielu punktów widzenia. Z jednej strony przypomina klasyczne równanie falowe . Doprowadziło to do szeregu zmian dotyczących jego charakterystyki , z których jedno zawdzięczamy Fritzowi Johnowi : równanie Johna .

W 2008 roku Walter Craig i Steven Weinstein udowodnili, że przy nielokalnym ograniczeniu problem wartości początkowej jest dobrze postawiony dla danych początkowych podanych na hiperpowierzchni o jednym wymiarze. A później, w 2022 roku, zespół badawczy z University of Michigan rozszerzył warunki rozwiązywania równań fal ultrahiperbolicznych do czasu zespolonego (kime), zademonstrował dynamikę kimu kosmicznego i pokazał zastosowania nauki o danych przy użyciu liniowego modelowania funkcjonalnego pola magnetycznego opartego na tensorach dane z rezonansu .

Równanie zostało również zbadane z punktu widzenia przestrzeni symetrycznych i eliptycznych operatorów różniczkowych . W szczególności równanie ultrahiperboliczne spełnia analogię twierdzenia o wartości średniej dla funkcji harmonicznych .

Notatki

Richarda Couranta ; Davida Hilberta (1962). Metody fizyki matematycznej, tom. 2 . Wiley-Interscience. s. 744–752. ISBN 978-0-471-50439-9 .
Lars Hörmander (20 sierpnia 2001). „Twierdzenie Asgeirssona o wartości średniej i powiązane tożsamości” . Dziennik analizy funkcjonalnej . 2 (184): 377–401. doi : 10.1006/jfan.2001.3743 .
Larsa Hörmandera (1990). Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I . Springer-Verlag. Twierdzenie 7.3.4. ISBN 978-3-540-52343-7 .
Sigurdura Helgasona (2000). Grupy i analiza geometryczna . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 319–323. ISBN 978-0-8218-2673-7 .
Fritz John (1938). „Ultrahiperboliczne równanie różniczkowe z czterema niezależnymi zmiennymi”. Duke Matematyka. J. _ 4 (2): 300–322. doi : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 .