Norma Gowersa

W matematyce , w dziedzinie kombinatoryki addytywnej , norma Gowersa lub norma jednorodności jest klasą norm dotyczących funkcji skończonej grupy lub obiektu podobnego do grupy, które określają ilościowo ilość obecnej struktury lub odwrotnie, ilość losowości . Służą do badania postępów arytmetycznych w grupie. Zostały nazwane na cześć Timothy'ego Gowersa , który wprowadził je w swojej pracy nad twierdzeniem Szemerédiego .

Definicja

Niech $będzie$ funkcją $wartościach$ zespolonych na skończonej grupie abelowej $.$ niech oznacza złożoną $taka$ Gowersa jest

{\ Displaystyle \ Vert f \ Vert _ {U ^ {d} (G)} ^ {2 ^ {d}} = \ suma _ {x, h_ {1}, \ ldots, h_ {d} \ w G} \prod _{\omega _{1},\ldots,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}} f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}

Normy Gowersa są również zdefiniowane dla funkcji zespolonych f na odcinku ${\ Displaystyle [N] = {0,1,2, ..., N-1}}$ gdzie N jest dodatnią liczbą całkowitą , . W tym kontekście normę jednorodności podaje się jako ${\ Displaystyle \ Vert f \ Vert _ {U ^ {d} [N]} = \ Vert {\ tylda { f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tylda {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d } (\ mathbb {Z} / {\ tylda {N}} \ mathbb {Z})}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {N}}}$ jest dużą liczbą całkowitą, ${\ Displaystyle 1_ {[N]}}$ oznacza funkcję wskaźnika [ N ] i ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} (x)}$ jest równa ${\ Displaystyle f (x)}$ dla ${\ Displaystyle x \ w [N]}$ i ${\ Displaystyle 0}$ dla wszystkich innych ${\ Displaystyle x}$ . Ta definicja nie zależy od ${\ Displaystyle {\ tylda {N}}}$ , dopóki ${\ Displaystyle {\ tylda {N}}> 2 ^ {d} N}$ .

Odwrotne domysły

Przypuszczeniem odwrotnym dla tych norm jest stwierdzenie stwierdzające, że jeśli ograniczona funkcja f ma dużą normę d Gowersa , to f koreluje z fazą wielomianu stopnia d − 1 lub innym obiektem o zachowaniu wielomianu (np. a ( d − 1) - krok zerowy). Dokładne stwierdzenie zależy od rozważanej normy Gowersa.

Hipoteza odwrotna dla $c>0$ wektorowych nad $polem$ skończonym stwierdza, że dla każdego stała taka, że dla ${\ displaystyle \ delta >$ finite-dimensional vector space V over $\mathbb {F}$ and any complex-valued function $f$ on $V$ ‖ fa ${\ Displaystyle \ Vert f \ Vert _ {U ^ {d} [V]} \ geq \ delta}$ ciąg wielomianowy ${\ Displaystyle P \ dwukropek V \ do \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$ tak, że

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {1} {| V |}} \ suma _ {x \ in V} f (x) e \ lewo (- P (x) \ prawo) \ prawo |\ geq c,}

gdzie ${\ Displaystyle e (x): = e ^ {2 \ pi ix}}$ . To przypuszczenie zostało udowodnione przez Bergelsona, Tao i Zieglera.

Odwrotna hipoteza dla normy Gowersa $1$ $dla$ dowolnego rozmaitości nilowych ( d - ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ delta}}$ i stałe ${\ displaystyle c, C}$ można znaleźć, więc poniższe stwierdzenie jest prawdziwe. Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą i ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle f \ dwukropek [N] \ do \ mathbb {C}}$ jest ograniczony wartością bezwzględną przez 1 i $]} \ geq \ delta }$ ${\ Displaystyle \ Vert f \ Vert _ { U$ $wtedy$ nilowa a zerowa sekwencja ${\ Displaystyle F (g ^ {n} x)}$ gdzie $\ w G, \ x \ w G / \ Gamma}$ $do {\ Displaystyle F \ dwukropek G / \ Gamma \ do \ mathbb { C} }$ i ograniczony przez 1 w wartości bezwzględnej i ze stałą Lipschitza ograniczoną przez do ${\ displaystyle C}$ tak, że: do

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} f (n) {\ overline {F (g ^ {n} x}}) \ prawo|\geq c.}

To przypuszczenie zostało udowodnione przez Greena, Tao i Zieglera. Należy podkreślić, że pojawienie się sekwencji zerowych w powyższym stwierdzeniu jest konieczne. Stwierdzenie nie jest już prawdziwe, jeśli weźmiemy pod uwagę tylko fazy wielomianowe.

Tao, Terence (2012). Analiza Fouriera wyższego rzędu . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 142. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8986-2 . MR 2931680 . Zbl 1277.11010 .