Funkcja o wartościach zadanych

Funkcja o wartościach zbioru (lub korespondencja ) to funkcja matematyczna, która odwzorowuje elementy z jednego zbioru, dziedziny funkcji , na podzbiory

kolejny zestaw. Funkcje o wartościach ustalonych są używane w różnych dziedzinach matematyki, w tym w optymalizacji , teorii sterowania i teorii gier .

Funkcje o ustalonych wartościach są również znane jako funkcje wielowartościowe w niektórych źródłach, ale tutaj i w wielu innych odniesieniach w analizie matematycznej funkcja wielowartościowa to funkcja o ustalonych wartościach $f$ , która ma dodatkową właściwość ciągłości , a mianowicie, że wybór elementu w zbiór $\ Displaystyle f (y$ element w każdym zestawie fa $)$ $}$ y $x$ , a tym samym definiuje lokalnie zwykłą funkcję.

funkcję wielowartościową, ale nie właściwą (jednowartościową) , ponieważ element 3 w X jest powiązany z dwoma elementami b i c w Y .

Przykłady

Argmax funkcji jest ogólnie wielowartościowy . Na przykład ${\ Displaystyle \ operatorname {argmax} _ {x \ in \ mathbb {R}} \ cos (x) = \ { 2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$ .

Analiza wartości zestawu

Analiza wartości zbiorów to badanie zbiorów w duchu analizy matematycznej i topologii ogólnej .

Zamiast uwzględniać zbiory tylko punktów, analiza wartości zestawów uwzględnia zbiory zbiorów. Jeśli zbiór zbiorów jest wyposażony w topologię lub dziedziczy odpowiednią topologię z podstawowej przestrzeni topologicznej, wówczas można badać zbieżność zbiorów.

Wiele analiz opartych na ustalonych wartościach powstało w wyniku studiowania ekonomii matematycznej i optymalnej kontroli , częściowo jako uogólnienie analizy wypukłej ; termin „ analiza wariacyjna ” jest używany przez autorów takich jak R. Tyrrell Rockafellar i Roger JB Wets , Jonathan Borwein i Adrian Lewis oraz Boris Mordukhovich . W teorii optymalizacji zbieżność subróżniczek aproksymujących do subróżniczki jest ważne dla zrozumienia warunków koniecznych lub wystarczających dla dowolnego punktu minimalizacji.

Istnieją rozszerzenia następujących pojęć z analizy punktowej o wartościach ustalonych: ciągłość , różniczkowanie , całkowanie , twierdzenie o funkcji niejawnej , odwzorowania kontrakcji , teoria miary , twierdzenia o punktach stałych , optymalizacja i teoria stopni topologicznych . W szczególności równania są uogólniane na inkluzje , podczas gdy równania różniczkowe są uogólniane na inkluzje różniczkowe .

Można wyróżnić wiele pojęć uogólniających ciągłość , takich jak właściwość grafu zamkniętego oraz hemiciągłość górna i dolna . Istnieją również różne uogólnienia miary na funkcje wielofunkcyjne.

Aplikacje

Funkcje o wartościach ustalonych pojawiają się w teorii sterowania optymalnego , zwłaszcza inkluzjach różniczkowych i pokrewnych tematach, takich jak teoria gier , gdzie twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym dla funkcji o wartościach ustalonych zostało zastosowane do udowodnienia istnienia równowag Nasha . Ta spośród wielu innych właściwości luźno związanych z aproksymacją górnych półciągłych wielofunkcyjności za pomocą funkcji ciągłych wyjaśnia, dlaczego górna półciągłość jest bardziej preferowana niż dolna hemiciągłość.

Niemniej jednak niższe półciągłe wielofunkcje zwykle mają ciągłe selekcje, jak stwierdzono w twierdzeniu Michaela o selekcji , które zapewnia inną charakterystykę przestrzeni parazwartych . Inne twierdzenia o selekcji, takie jak ciągła selekcja kierunkowa Bressana-Colombo, twierdzenie Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego o mierzalnej selekcji , mierzalna selekcja Aumanna i selekcja Fryszkowskiego dla map rozkładalnych, są ważne w optymalnej kontroli i teorii inkluzji różniczkowych .

Notatki

^ Repovš, Dušan (1998). Ciągłe selekcje odwzorowań wielowartościowych . Paweł Władimirowicz. Siemionow. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-5277-7 . OCLC 39739641 .
^ Aumann, Robert J. (1965). „Całki funkcji o wartościach zestawu” . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .
^ Kakutani, Shizuo (1941). „Uogólnienie twierdzenia Brouwera o punkcie stałym”. Dziennik matematyczny Duke'a . 8 (3): 457–459. doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
^ Ernest Michael (marzec 1956). „Ciągłe selekcje. I” (PDF) . Roczniki matematyki . Druga seria. 63 (2): 361–382. doi : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 .
^ Dušan Repovš ; PV Siemionow (2008). „Ernest Michael i teoria ciągłych selekcji”. Aplikacja topologiczna . 155 (8): 755–763. ar Xiv : 0803.4473 . doi : 10.1016/j.topol.2006.06.011 .

Dalsza lektura

K. Deimling, Wielowartościowe równania różniczkowe , Walter de Gruyter, 1992
CD Aliprantis i KC Border, analiza nieskończonych wymiarów. Przewodnik autostopowicza , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
J. Andres i L. Górniewicz, Topologiczne zasady punktów stałych dla problemów z wartościami brzegowymi , Wydawnictwo Akademickie Kluwer, 2003
J.-P. Aubin i A. Cellina, Inkluzje różniczkowe, mapy o wartościach zbiorczych i teoria żywotności , Grundl. matematyka. Wiss. 264, Springer-Verlag, Berlin, 1984
J.-P. Aubin i H. Frankowska , Set-Valued Analysis , Birkhäuser, Bazylea, 1990
D. Repovš i PV Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
EU Tarafdar i MSR Chowdhury, Topologiczne metody analizy nieliniowej z wartościami zadanymi , World Scientific, Singapur, 2008
Mitroi, F.-C.; Nikodem K.; Wąsowicz, S. (2013). „Nierówności Hermite'a-Hadamarda dla wypukłych funkcji o wartościach zbioru” . Demonstracja Matematyki . 46 (4): 655–662. doi : 10.1515/dema-2013-0483 .

Zobacz też

[1] Repovš, Dušan (1998). Ciągłe selekcje odwzorowań wielowartościowych . Paweł Władimirowicz. Siemionow. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-5277-7 . OCLC 39739641 .

[2] Aumann, Robert J. (1965). „Całki funkcji o wartościach zestawu” . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .

[kakutani-3] Kakutani, Shizuo (1941). „Uogólnienie twierdzenia Brouwera o punkcie stałym”. Dziennik matematyczny Duke'a . 8 (3): 457–459. doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .

[5] Ernest Michael (marzec 1956). „Ciągłe selekcje. I” (PDF) . Roczniki matematyki . Druga seria. 63 (2): 361–382. doi : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 .

[6] Dušan Repovš ; PV Siemionow (2008). „Ernest Michael i teoria ciągłych selekcji”. Aplikacja topologiczna . 155 (8): 755–763. ar Xiv : 0803.4473 . doi : 10.1016/j.topol.2006.06.011 .

Funkcja
$x \mapsto f (x)$
Przykłady dziedzin i kodomen
${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {B}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {B}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {n} }$ → ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ → ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} }$ → ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} }$ → ${\ displaystyle X}$
Klasy/właściwości
Stały Tożsamość Liniowy Wielomian Racjonalny Algebraiczny Analityczny Gładki Ciągły Wymierny iniekcyjne Surjekcja Bijektywny
Konstrukcje
Ograniczenie Kompozycja λ Odwrotność
Uogólnienia
Częściowy Wielowartościowy Domniemany przestrzeń