Hemiciągłość

W matematyce pojęcie ciągłości funkcji nie jest bezpośrednio rozszerzalne na funkcje o wartościach ustalonych między dwoma zbiorami A i B . Podwójne koncepcje półciągłości górnej i półciągłości dolnej ułatwiają takie rozszerzenie. Mówi się, że funkcja o wartościach ustawionych, która ma obie właściwości, jest ciągła w analogii do właściwości o tej samej nazwie dla funkcji.

Z grubsza rzecz biorąc, funkcja jest półciągła górna, jeśli (1) zbieżny ciąg punktów w dziedzinie odwzorowuje się na ciąg zbiorów w zakresie, który (2) zawiera inny ciąg zbieżny, to obraz punktu granicznego w dziedzinie musi zawierać granicę ciągu w zakresie. Niższa hemiciągłość zasadniczo odwraca to, mówiąc, że jeśli sekwencja w domenie jest zbieżna, biorąc pod uwagę punkt w zakresie granicy, to można znaleźć podsekwencję, której obraz zawiera sekwencję zbieżną do danego punktu.

Górna hemiciągłość

$\ lewo (x_ {m} \ prawej)}$ ale nie dolna półciągła w : dla sekwencji punktów $\ Displaystyle$ , która zbiega się do ${\ Displaystyle x,}$ mamy za ${\ Displaystyle y}$ ( ${\ Displaystyle y \ in f (x)}$ ) takie, że żadna sekwencja $\ Displaystyle$$y_ {m} \ prawej)}$ zbiega się do $y}$ gdzie każdy w ${\ displaystyle f \ lewo (x_ {m} \ prawo).}$

$podzbiór$$b}$ funkcja o wartościach ustalonych jest półciągła górna w punkcie jeśli dla dowolnego otwartego $Displaystyle$$V \$$istnieje$ Γ $\ Displaystyle \ Gamma (a) \ podzbiór V}$$takie$ sąsiedztwo, że wszystkich ${\ Displaystyle x \ w U,}$${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$ jest podzbiorem ${\ Displaystyle V.}$

Charakteryzacja sekwencyjna

Dla funkcji o ustalonych wartościach z zamkniętymi wartościami, jeśli jest górna półciągła przy ${\ Displaystyle a \ in A}$$A$$Gamma: A$ wtedy dla wszystkich sekwencji ${\ Displaystyle a _ {\ punktor} = \ lewo (a_ {m} \ prawej) _ {m = 1} ^ { \infty }}$ w ${\ Displaystyle A,}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle b \ w B,}$ wszystkich sekwencji ${\ Displaystyle \ lewo (b_ {m} \ prawej) _ {m = 1} ^ {\ infty}}$ takie, że ${\ Displaystyle b_ {m} \ in \ Gamma \ lewo (a_ {m} \ prawo)}$

jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} a_ {m} = a}$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty }b_{m}=b}$ wtedy ${\ Displaystyle b \ w \ Gamma (a).}$

Jeśli B jest zwarty, odwrotność jest również prawdziwa.

Twierdzenie o grafie zamkniętym

Wykres funkcji ${\ Displaystyle Gr (\ Gamma) = \ {(a, b) \ w A \ razy B: b \ w \ Gamma (a) \}.}$ zbiorem $)$

$B}$ ZA $gdzie$ do górną półciągłą funkcją o wartościach zbioru z domkniętą domeną (to znaczy ${\ Displaystyle \ Gamma (a)}$ nie jest zbiorem pustym jest domknięty) i zamkniętymi wartościami (tj $jest$ domknięty dla wszystkich $A}$$a$ ), więc ${\ Displaystyle \ operatorname {Gr} (\ Gamma)}$ jest zamknięty. Jeśli $zwarty$ , to odwrotność jest również prawdziwa.

Niższa hemiciągłość

$,$ , ale nie górna półciągła w ponieważ wykres (zbiór) nie jest zamknięty.

$($ o wartościach ustalonych $Γ$$a)}$ półciągła punkcie $otwartego$ jeśli dowolnego się ${\ Displaystyle a}$ istnieje takie sąsiedztwo ${\ Displaystyle U}$ za , że ${\ Displaystyle \ Gamma (x)}$ przecina ${\ Displaystyle V}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w U.}$ (Tutaj ${\ Displaystyle V}$ przecina się ${\ Displaystyle S}$ oznacza niepuste przecięcie ${\ Displaystyle V \ cap S \ neq \ varnothing}$ ).

Charakteryzacja sekwencyjna

${\ Displaystyle \ Gamma: A \ do B}$ jest niższy półciągły w ${\ Displaystyle a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle a_ {\ punktor} = \ lewo (a_ {m} \ prawo) _ {m = 1} ^ {\ infty}}$ w ${\ Displaystyle A}$ tak, że ${\ Displaystyle a_ {\ punktor} \ do a}$ w ${\ displaystyle A}$ b ${\ Displaystyle b \ in \ Gamma (a)}$ istnieje podsekwencja $(a_ {m_ {k}} \ prawo ) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ z ${\ Displaystyle a_ {\ punktor}},$ a także sekwencji ${\ Displaystyle b _ {\ punktor} = \ lewo (b_ {k} \ prawo) _ {k = 1} ^ {\ infty}} takie, że b ∙ → b {\ Displaystyle b_ {\$ punktor $}$ i ${\ Displaystyle b_ {k} \ in \ Gamma \ lewo (a_ {m_ {k}} \ prawej)}$ dla każdego ${\ Displaystyle k.}$

Twierdzenie o otwartym grafie

Funkcja o wartościach ustalonych $dolne$ otwarte , zbiór $)$ w $A$ dla każdego $displaystyle$$B.}$ Jeśli $B$ wartości są otwartymi zbiorami w $B},$ to mówi się, że mają otwarte górne sekcje .

Jeśli ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ma otwarty wykres ${\ Displaystyle \ operatorname {Gr} (\ Gamma)},$ to ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ma otwarte górne i dolne sekcje i jeśli $} \displaystyle \Gamma }$ ma otwarte dolne sekcje, to jest dolna półciągła.

$wypukłą$ mówi, że jeśli funkcją wartości i otwarte górne sekcje, to ma otwarty wykres w $Displaystyle$$A \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ Gamma}$ jest półciągły dolny.

Nieruchomości

Teoria mnogości, algebraiczne i topologiczne operacje na funkcjach o wartościach zbiorczych (takich jak suma, złożenie, suma, powłoka wypukła, domknięcie) zwykle zachowują typ ciągłości. Należy to jednak traktować z należytą ostrożnością, ponieważ na przykład istnieje para funkcji o wartościach zbioru półciągłych o niższych wartościach, których przecięcie nie jest półciągłe o niższych wartościach. Można to naprawić po wzmocnieniu właściwości ciągłości: jeśli jedna z tych niższych półciągłych funkcji wielofunkcyjnych ma otwarty wykres, to ich przecięcie jest ponownie dolne półciągłe.

wyborów jednowartościowych i przybliżeń funkcji z wartościami ustalonymi. Zazwyczaj niższe półciągłe funkcje o wartościach zbioru dopuszczają selekcje jednowartościowe ( twierdzenie Michaela o selekcji , twierdzenie Bressana – Colombo o selekcji ciągłej kierunkowej , rozkładowalna mapa wyboru Fryszkowskiego ). Podobnie mapy półciągłe górne dopuszczają przybliżenia (np. twierdzenie Ancela-Granasa-Górniewicza-Kryszewskiego).

Implikacje dla ciągłości

Jeśli funkcja o ustalonych wartościach jest zarówno górna półciągła, jak i dolna półciągła, mówi się, że jest ciągła. Funkcja ciągła jest we wszystkich przypadkach zarówno górna, jak i dolna półciągła.

Inne koncepcje ciągłości

Górną i dolną półciągłość można postrzegać jako zwykłą ciągłość:

${\ Displaystyle \ Gamma: A \ do B}$ jest niższy [odp. $(B$ wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie jest ciągłe, gdzie hiperprzestrzeń [ odp . góra] Topologia Vietorisa .

(Dla pojęcia hiperprzestrzeni porównaj także zbiór mocy i przestrzeń funkcyjną ).

Wykorzystując dolną i górną jednorodność Hausdorffa możemy również zdefiniować tzw. górne i dolne półciągłe mapy w sensie Hausdorffa (znane również jako metrycznie dolne / górne półciągłe mapy ).

Zobacz też

• Inkluzja różniczkowa
• Odległość Hausdorffa - matematyczna odległość między dwoma podzbiorami przestrzeni metrycznej Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Semicontinuity – Właściwość funkcji słabsza od ciągłości Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań

Notatki

•    Aliprantis, Charalambos D .; Granica, Kim C. (2006). Nieskończona analiza wymiarowa: przewodnik autostopowicza (wyd. Trzecie). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7 . OCLC 262692874 .
•   Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inkluzje różniczkowe: mapy z wartościami zestawów i teoria żywotności . Grundl. matematyka. Wiss. Tom. 264. Berlin: Springer. ISBN 0-387-13105-1 .
•   Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Analiza wartości zestawów . Bazylea: Birkäuser. ISBN 3-7643-3478-9 .
•   Deimling, Klaus (1992). Równania różniczkowe wielowartościowe . Waltera de Gruytera. ISBN 3-11-013212-5 .
•   Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Zielony, Jerry R. (1995). Analiza mikroekonomiczna . Nowy Jork: Oxford University Press. s. 949–951. ISBN 0-19-507340-1 .
•   Ok, Efe A. (2007). Analiza rzeczywista z zastosowaniami ekonomicznymi . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. s. 216–226. ISBN 978-0-691-11768-3 .