Twierdzenie Michaela o wyborze

W analizie funkcjonalnej , gałęzi matematyki, twierdzenie Michaela o wyborze jest twierdzeniem o wyborze nazwanym na cześć Ernesta Michaela . W swojej najbardziej popularnej formie stwierdza, co następuje:

Niech X będzie przestrzenią parazwartą , a Y przestrzenią Banacha .

Niech $półciągłą$ niższą funkcją wartościach wypukłymi wartościami zamkniętymi .

Wtedy istnieje ciągła selekcja ${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$ z F .

Odwrotnie , jeśli jakakolwiek dolna półciągła multimapa z przestrzeni topologicznej X do przestrzeni Banacha, z niepustymi wypukłymi wartościami zamkniętymi, dopuszcza ciągłą selekcję , to X jest parazwarty. Zapewnia to kolejną charakterystykę parazwartości .

Przykłady

Funkcja spełniająca wszystkie wymagania

Funkcja: ${\ Displaystyle F (x) = [1-x/2, ~ 1-x/4]}$ , pokazana przez szary obszar na rysunku po prawej stronie jest funkcją o wartościach zadanych od rzeczywistego przedziału [0,1] do samej siebie. Spełnia wszystkie warunki Michaela i rzeczywiście ma ciągłą selekcję, na przykład: ${\ Displaystyle f (x) = 1-x/2}$ lub ${\ Displaystyle f (x) = 1-3x/8}$ .

Funkcja, która nie spełnia dolnej hemiciągłości

Funkcja

${\ Displaystyle F (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 3/4 i 0 \ równoważnik x <0,5 \\\left[0,1\right]&x=0,5\\1/4&0,5<x\leq 1\end{przypadki}}}$

jest funkcją o wartościach zadanych od rzeczywistego przedziału [0,1] do samej siebie. Ma niepuste wypukłe zamknięte wartości. Jednak nie jest niższy półciągły przy 0,5. Rzeczywiście, twierdzenie Michaela nie ma zastosowania, a funkcja nie ma ciągłego wyboru: każdy wybór przy 0,5 jest z konieczności nieciągły.

Aplikacje

Twierdzenie Michaela o wyborze można zastosować, aby pokazać, że inkluzja różniczkowa

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} (t) \ w fa (t, x (t) ),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

ma rozwiązanie C ¹ , gdy F jest dolnym półciągłym i F ( t , x ) jest niepustym domkniętym i wypukłym zbiorem dla wszystkich ( t , x ). Gdy F ma jedną wartość, jest to klasyczne twierdzenie o istnieniu Peano .

Uogólnienia

Twierdzenie Deutscha i Kenderova uogólnia twierdzenie Michela o selekcji do równoważności odnoszącej przybliżone selekcje do prawie $x \ w X}$ hemiciągłości , gdzie mówi się, że jest prawie dolna półciągłość, jeśli w każdym $Displaystyle$ , wszystkie sąsiedztwa $\ displaystyle$ { $0} istnieje$ takie sąsiedztwo, że ${\ displaystyle U}$ x $\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ cap _ {u \ w U} \ {F (u) + V \} \ neq \ pusty zestaw.}$

$to$ – $wypukła$$\ in X}$ że ​​​​jeśli parazwarty, znormalizowana przestrzeń wektorowa $i jest$$niepusta$ dla każdego $fa$ , to jest prawie dolna półciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $\ displaystyle F}$ ma ciągłe przybliżone selekcje, to znaczy dla każdego sąsiedztwa ${\ displaystyle$$0}$ w ${\ displaystyle Y}$ istnieje funkcja ciągła $}$$\ Displaystyle f \ okrężnica X \ mapsto$ Y tak, że dla każdego ${\ Displaystyle x \ w X}$ , ${\ Displaystyle f (x) \ w F (X) + V}$ .

$topologiczną$ Xu udowodnił, że twierdzenie Deutscha – Kenderowa jest również ważne, jeśli jest lokalnie wypukłą przestrzenią wektorową .

Zobacz też

• Zerowymiarowe twierdzenie o wyborze Michaela
• Twierdzenie o wyborze

Dalsza lektura

•   Repovš, Dušan ; Semenow, Paweł V. (2014). „Ciągłe selekcje odwzorowań wielowartościowych”. w Hart, KP; Van Mill, J.; Simon, P. (red.). Najnowsze postępy w topologii ogólnej . Tom. III. Berlin: Springer. s. 711–749. ar Xiv : 1401.2257 . Bibcode : 2014arXiv1401.2257R . ISBN 978-94-6239-023-2 .
•   Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inkluzje różniczkowe, mapy z wartościami zbiorczymi i teoria żywotności . Grundl. matematyka. Wiss. Tom. 264. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13105-1 .
•   Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, H. (1990). Analiza wartości zestawów . Bazylea: Birkäuser. ISBN 3-7643-3478-9 .
•   Deimling, Klaus (1992). Równania różniczkowe wielowartościowe . Waltera de Gruytera. ISBN 3-11-013212-5 .
•   Repovš, Dušan ; Semenow, Paweł V. (1998). Ciągłe selekcje odwzorowań wielowartościowych . Dordrecht: wydawcy akademiccy Kluwer. ISBN 0-7923-5277-7 .
• Repovš, Dušan ; Semenow, Paweł V. (2008). „Ernest Michael i teoria ciągłych wyborów”. Topologia i jej zastosowania . 155 (8): 755–763. ar Xiv : 0803.4473 . doi : 10.1016/j.topol.2006.06.011 .
•   Aliprantis, Charalambos D.; Granica, Kim C. (2007). Nieskończona analiza wymiarowa: przewodnik autostopowicza (wyd. 3). Skoczek. ISBN 978-3-540-32696-0 .
•   Hu, S.; Papageorgiou, N. Podręcznik analizy wielowartościowej . Tom. I. Kluwera. ISBN 0-7923-4682-3 .