Twierdzenie o wyborze

W analizie funkcjonalnej , gałęzi matematyki, twierdzenie o wyborze jest twierdzeniem, które gwarantuje istnienie jednowartościowej funkcji wyboru z danej mapy o ustalonych wartościach . Istnieją różne twierdzenia o selekcji i są one ważne w teoriach inkluzji różniczkowych , optymalnej kontroli i ekonomii matematycznej .

Czynności wstępne

Biorąc pod uwagę dwa zbiory X i Y , niech F będzie funkcją o wartościach ustalonych z X i Y . Równoważnie $_$ _ _ _ _ _ _ _

Mówi $się$ funkcja wyborem jeśli _ _

${\ Displaystyle \ forall x \ w X: \, \, \, f (x) \ w F (x) \,.}$

Innymi słowy, biorąc pod uwagę dane wejściowe x , dla których oryginalna funkcja F zwraca wiele wartości, nowa funkcja f zwraca pojedynczą wartość. Jest to szczególny przypadek funkcji wyboru .

Aksjomat wyboru implikuje, że funkcja wyboru zawsze istnieje; jednak często ważne jest, aby wybór miał pewne „ładne” właściwości, takie jak ciągłość lub mierzalność . W tym miejscu do akcji wkraczają twierdzenia o selekcji: gwarantują one, że jeśli F spełnia określone właściwości, to ma selekcję f , która jest ciągła lub ma inne pożądane właściwości.

Twierdzenia o wyborze dla funkcji o wartościach zadanych

Twierdzenie o selekcji przybliżonej mówi, że dla istnienia selekcji ciągłej wystarczające są następujące warunki :

• ${\ Displaystyle X}$ : zwarta przestrzeń metryczna

• ${\ Displaystyle Y}$ : niepusty zwarty, wypukły podzbiór znormalizowanej przestrzeni liniowej

• $F: X \ do 2 ^ {Y}}$ displaystyle funkcja wartościowana, wszystkie wartości niepuste, zwarte, wypukłe. ma zamknięty wykres.

• ${\ displaystyle F}$ .

• Dla każdego istnieje ciągła funkcja ${\ displaystyle \ varepsilon > 0}$${\ Displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ z ${\ Displaystyle \ operatorname {wykres} (f) \ podzbiór [\ operatorname {wykres} (F)] _ { \ varepsilon}}$ , gdzie $\ Displaystyle [S] _ {\ epsilon}}$$\ Displaystyle S}$$to$ -dylatacja { , czyli suma promienia- ${\ Displaystyle \ epsilon}$ otwarte kule wyśrodkowane na punktach w ${\ displaystyle S}$ .

Twierdzenie Michaela o selekcji mówi, że dla istnienia selekcji ciągłej wystarczające są następujące warunki :

• X jest przestrzenią parazwartą ;
• Y jest przestrzenią Banacha ;
• F jest dolna półciągła ;
• dla wszystkich x w X zbiór F ( x ) jest niepusty, wypukły i domknięty .

Twierdzenie Deutscha – Kenderowa uogólnia twierdzenie Michaela w następujący sposób:

• X jest przestrzenią parazwartą ;
• Y jest znormalizowaną przestrzenią wektorową ;
• F jest prawie dolna półciągła , $to$ znaczy dla każdego ${\ Displaystyle x}$ x $displaystyle$ X $}$$x$ \ in takie, że ${\textstyle \bigcap _ {u\w U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset}$ ;
• dla wszystkich x w X zbiór F ( x ) jest niepusty i wypukły .

Warunki te gwarantują, że $istnieje$ ciągła przybliżona selekcja, to znaczy dla każdego sąsiedztwa $\ displaystyle$ { $0}$ w ${\ displaystyle Y}$ funkcja ciągła ${\ Displaystyle f \ okrężnica X \ mapsto Y}$ tak, że dla każdego ${\ Displaystyle x \ in X$ } ${\ Displaystyle f (x) \ w F (X) + V}$ .

$topologiczną$ Xu udowodnił, że twierdzenie Deutscha – Kenderowa jest również ważne, jeśli jest lokalnie wypukłą przestrzenią wektorową .

Yannelisa -Prabhakara mówi, że dla istnienia selekcji ciągłej wystarczające są następujące warunki :

• X jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa ;
• Y jest liniową przestrzenią topologiczną ;
• dla wszystkich x w X zbiór F ( x ) jest niepusty i wypukły ;
• dla wszystkich y w Y , zbiór odwrotny F ⁻¹ ( y ) jest zbiorem otwartym w X .

Twierdzenie Kuratowskiego i Ryll-Nardzewskiego o mierzalnym wyborze mówi, że jeśli X jest przestrzenią polską i jej σ-algebra $borelowska$ , to $X }$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl}$ jest zbiorem niepustych domkniętych podzbiorów X , ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ jest mierzalną przestrzenią i $\ Displaystyle F: \ Omega \ do \ operatorname {Cl} (X)}$$jest$ { -słabo mapą (to znaczy dla każdego podzbiór otwarty ${\ Displaystyle U \ subseteq X}$ mamy ${\ Displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega: F (\ omega) \ cap U \ neq \ emptyset \} \ in {\ mathcal {F}}} )$ wtedy $,$ ma wybór który jest ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {B}})}$ - mierzalne .

Inne twierdzenia o wyborze dla funkcji o wartościach zadanych obejmują:

• Twierdzenie Bressana – Colombo o kierunkowo ciągłym wyborze
• Twierdzenie o rzutowaniu reprezentacji
• Wybór rozkładalnej mapy Fryszkowskiego
• Twierdzenie Helly'ego o wyborze
• Zerowymiarowe twierdzenie o wyborze Michaela
• Twierdzenie Roberta Aumanna o wymiernym wyborze

Twierdzenia o selekcji dla ciągów o wartościach zadanych

• Twierdzenie o wyborze Blaschkego