Twierdzenie o punkcie stałym

W matematyce twierdzenie o punkcie stałym jest wynikiem mówiącym, że funkcja F będzie miała co najmniej jeden punkt stały (punkt x , dla którego F ( x ) = x ), pod pewnymi warunkami na F , które można określić ogólnie. Niektórzy autorzy twierdzą, że wyniki tego rodzaju należą do najbardziej użytecznych w matematyce.

W analizie matematycznej

Banacha o punkcie stałym (1922) podaje ogólne kryterium gwarantujące, że jeśli jest ono spełnione, procedura iteracji funkcji daje punkt stały.

Natomiast twierdzenie Brouwera o punkcie stałym (1911) jest wynikiem niekonstruktywnym : mówi, że każda ciągła funkcja od zamkniętej kuli jednostkowej w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej do samej siebie musi mieć punkt stały, ale nie opisuje jak znaleźć punkt stały (Zobacz też lemat Spernera ).

Na przykład funkcja cosinus jest ciągła w [-1,1] i odwzorowuje ją na [-1, 1], a zatem musi mieć stały punkt. Jest to jasne, gdy bada się naszkicowany wykres funkcji cosinus; punkt stały występuje tam, gdzie krzywa cosinus y = cos( x ) przecina prostą y = x . Liczbowo punkt stały wynosi w przybliżeniu x = 0,73908513321516 (a więc x = cos( x ) dla tej wartości x ).

Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym (i twierdzenie Nielsena o punkcie stałym ) z topologii algebraicznej jest godne uwagi, ponieważ w pewnym sensie daje sposób liczenia punktów stałych.

Istnieje wiele uogólnień twierdzenia Banacha o punkcie stałym i dalszych; są one stosowane w PDE . Zobacz twierdzenia o punkcie stałym w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych .

Twierdzenie o kolażu w kompresji fraktalnej dowodzi, że dla wielu obrazów istnieje stosunkowo niewielki opis funkcji, która po iteracyjnym zastosowaniu do dowolnego obrazu początkowego szybko zbiega się do pożądanego obrazu.

W algebrze i matematyce dyskretnej

Knastera -Tarskiego stwierdza, że ​​​​każda funkcja zachowująca porządek na kompletnej siatce ma punkt stały, a nawet najmniejszy punkt stały. Zobacz także twierdzenie Bourbakiego – Witta .

Twierdzenie ma zastosowanie w interpretacji abstrakcyjnej , formie statycznej analizy programu .

Częstym tematem rachunku lambda jest znajdowanie stałych punktów podanych wyrażeń lambda. Każde wyrażenie lambda ma punkt stały, a kombinator punktu stałego jest „funkcją”, która przyjmuje jako dane wejściowe wyrażenie lambda i generuje jako wynik punkt stały tego wyrażenia. Ważnym kombinatorem punktu stałego jest kombinator Y używany do tworzenia definicji rekurencyjnych .

W semantyce denotacyjnej języków programowania szczególny przypadek twierdzenia Knastera-Tarskiego służy do ustalenia semantyki definicji rekurencyjnych. Podczas gdy twierdzenie o punkcie stałym stosuje się do „tej samej” funkcji (z logicznego punktu widzenia), rozwój teorii jest zupełnie inny.

Tę samą definicję funkcji rekurencyjnej można podać w teorii obliczalności , stosując twierdzenie Kleene'a o rekurencji . Te wyniki nie są równoważnymi twierdzeniami; twierdzenie Knastera-Tarskiego jest znacznie silniejszym wynikiem niż to, co jest używane w semantyce denotacyjnej. Jednak w świetle tezy Churcha-Turinga ich intuicyjne znaczenie jest takie samo: funkcję rekurencyjną można opisać jako najmniej stały punkt pewnego funkcjonału, odwzorowujący funkcje na funkcje.

Powyższa technika iteracji funkcji w celu znalezienia punktu stałego może być również wykorzystana w teorii mnogości ; lemat o punkcie stałym dla funkcji normalnych stwierdza, że ​​​​każda ciągła ściśle rosnąca funkcja od liczb porządkowych do liczb porządkowych ma jeden (a nawet wiele) punktów stałych.

Każdy operator domknięcia na posecie ma wiele stałych punktów; są to „zamknięte elementy” w odniesieniu do operatora domknięcia i są głównym powodem, dla którego operator domknięcia został zdefiniowany w pierwszej kolejności.

Każda inwolucja na skończonym zbiorze z nieparzystą liczbą elementów ma punkt stały; bardziej ogólnie, dla każdej inwolucji na skończonym zbiorze elementów, liczba elementów i liczba stałych punktów mają tę samą parzystość . Don Zagier wykorzystał te obserwacje, aby dać jednozdaniowy dowód twierdzenia Fermata o sumach dwóch kwadratów , opisując dwie inwolucje na tym samym zbiorze trójek liczb całkowitych, z których jedna może łatwo wykazać, że ma tylko jeden punkt stały, a druga z których ma stały punkt dla każdej reprezentacji danej liczby pierwszej (przystającej do 1 mod 4) jako sumy dwóch kwadratów. Ponieważ pierwsza inwolucja ma nieparzystą liczbę stałych punktów, tak samo jest z drugą, a zatem zawsze istnieje reprezentacja pożądanej formy.

Lista twierdzeń o punkcie stałym

przypisy

  1. ^   Brązowy, RF, wyd. (1988). Teoria punktu stałego i jej zastosowania . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-5080-6 .
  2. Bibliografia   _ Granas, Andrzej (2003). Teoria punktu stałego . Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5 .
  3. ^   Giles, John R. (1987). Wprowadzenie do analizy przestrzeni metrycznych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-35928-3 .
  4. ^ Eberhard Zeidler, Stosowana analiza funkcjonalna: główne zasady i ich zastosowania , Springer, 1995.
  5. ^ Salomona Lefschetza (1937). „W formule punktu stałego”. Ann. z matematyki. 38 (4): 819–822. doi : 10.2307/1968838 .
  6. Bibliografia _ _ Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (red.). Nieciągłe grupy izometrii w płaszczyźnie hiperbolicznej . De Gruyter Studia z matematyki. Tom. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
  7. Bibliografia   _ (1988). Fraktale wszędzie . Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9 .
  8. ^ Alfred Tarski (1955). „Twierdzenie o punkcie stałym z teorią kraty i jego zastosowania” . Pacific Journal of Mathematics . 5:2 : 285-309.
  9. ^ Peyton Jones, Simon L. (1987). Implementacja programowania funkcjonalnego . Prentice Hall International.
  10. ^   Cutland, NJ, Obliczalność: wprowadzenie do teorii funkcji rekurencyjnych , Cambridge University Press, 1980. ISBN 0-521-29465-7
  11. ^   Podstawy weryfikacji programu , wydanie drugie, Jacques Loeckx i Kurt Sieber, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-91282-4 , rozdział 4; twierdzenie 4.24, strona 83, jest tym, co jest używane w semantyce denotacyjnej, podczas gdy twierdzenie Knastera-Tarskiego jest podane do udowodnienia jako ćwiczenie 4.3–5 na stronie 90.
  12. Bibliografia   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ MR 1041893 .

Linki zewnętrzne

Pobrane z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fixed-point_theorem&oldid=1139514869 ”