Twierdzenie Browdera o punkcie stałym

Browdera o punkcie stałym jest udoskonaleniem twierdzenia Banacha o punkcie stałym dla równomiernie wypukłych przestrzeni Banacha . Twierdzi, że jeśli $K$${\ Displaystyle \|f (x) -f (y) \|\ równoważnik \|xy \|}$ wypukłym , $ograniczonym$ zbiorem w jednostajnie wypukłej Banacha i odwzorowaniem samego siebie w taki sposób, że $displaystyle$ (tj. ${\ Displaystyle f} nie$ jest ekspansywny ), wtedy ${\ displaystyle f}$ ma stały punkt .

Historia

Po opublikowaniu w 1965 roku dwóch niezależnych wersji twierdzenia Felixa Browdera i Williama Kirka , nowy dowód Michaela Edelsteina wykazał, że w jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha każdy ciąg iteracyjny ${0}}$${\ displaystyle f ^ {n}$$jest$ nieekspansywnej mapy ma unikalne centrum asymptotyczne, które stałym punktem ${\ displaystyle f}$ . ( Asymptotyczne centrum ciągu ${\ Displaystyle (x_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ , jeśli istnieje, jest granicą centrów Czebyszewa ${ \ displaystyle c_ {n}}$ dla obciętych sekwencji ${\ Displaystyle (x_ {k}) _ {k \ geq n}}$ .) Silniejszą właściwością niż centrum asymptotyczne jest granica Delta Teck-Cheong Lim, która w przestrzeni jednostajnie wypukłej pokrywa się ze słabą granicą, jeśli przestrzeń ma własność Opial .

Zobacz też

• Twierdzenia o punkcie stałym
• Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

• Felix E. Browder , Nieekspansywne operatory nieliniowe w przestrzeni Banacha. proc. Natl. Acad. nauka Stany Zjednoczone 54 (1965) 1041–1044
• William A. Kirk , Twierdzenie o punkcie stałym dla odwzorowań, które nie zwiększają odległości, Amer. Matematyka Miesięcznik 72 (1965) 1004–1006.
• Michael Edelstein, Budowa centrum asymptotycznego o własności punktu stałego, Bull. Amer. Matematyka soc. 78 (1972), 206-208.