Własność opialna

W matematyce właściwość Opial jest abstrakcyjną właściwością przestrzeni Banacha , która odgrywa ważną rolę w badaniu słabej zbieżności iteracji odwzorowań przestrzeni Banacha oraz asymptotycznego zachowania nieliniowych półgrup . Obiekt nosi imię polskiego matematyka Zdzisława Opiala.

Definicje

₀₀ Niech ( X , || ||) będzie przestrzenią Banacha. Mówimy, że X ma właściwość Opial , jeśli zawsze ( x _n ) _{n ∈ N} jest ciągiem w X zbiegającym się słabo do pewnego x ∈ X i x ≠ x , wynika z tego, że

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x_ {0} \|<\ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x \|.}$

Alternatywnie, używając kontrapozytywu , warunek ten można zapisać jako

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x \|\ równoważnik \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x_ {0}\|\ implikuje x=x_{0}.}$

₀₀ Jeśli X jest ciągłą przestrzenią dualną jakiejś innej przestrzeni Banacha Y , to mówi się, że X ma słabą własność-∗ Opial , jeśli zawsze ( x _n ) _{n ∈ N} jest ciągiem w X zbiegającym się słabo-∗ do pewnego x ∈ X i x ≠ x , wynika z tego

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \| x_ {n} -x_ {0} \ | <\liminf _{n\do \infty}\|x_{n}-x\|,}$

lub jak wyżej

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x \|\ równoważnik \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} -x_ {0}\|\ implikuje x=x_{0}.}$

że (podwójna) przestrzeń Banacha X ma jednolitą (słabą-∗) Opialową własność , jeśli dla każdego c > 0 istnieje r > 0 takie, że

${\ Displaystyle 1 + r \ równoważnik \ liminf _ {n \ do \ infty} \| x_ {n} -x \ |}$

dla każdego x ∈ X z || x || ≥ c i każdy ciąg ( x _n ) _{n ∈ N} w X zbiegający się słabo (słabo-∗) do 0 iz

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty} \|x_ {n} \|\ geq 1.}$

Przykłady

• Twierdzenie Opiala (1967): Każda przestrzeń Hilberta ma właściwość Opial.
• Przestrzenie sekwencji mają właściwość Opial ${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik p <\ infty}$
• Twierdzenie Van Dulsta (1982): dla każdej separowalnej przestrzeni Banacha istnieje równoważna norma, która nadaje jej własność Opial.
• W przypadku jednolicie wypukłych przestrzeni Banacha własność Opiala zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżność delta pokrywa się ze zbieżnością słabą.

• Opial, Zdzisław (1967). „Słaba zbieżność sekwencji kolejnych przybliżeń dla mapowań nieekspansywnych” . Byk. Amer. Matematyka soc . 73 (4): 591–597. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11761-0 .