Twierdzenia o punkcie stałym w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych
W matematyce wiele twierdzeń o punkcie stałym w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych uogólnia twierdzenie Brouwera o punkcie stałym . Mają zastosowanie, na przykład, w dowodzie twierdzeń o istnieniu równań różniczkowych cząstkowych .
Pierwszym wynikiem w tej dziedzinie było twierdzenie Schaudera o punkcie stałym , udowodnione w 1930 r. przez Juliusza Schaudera (poprzedni wynik w innym tonie, twierdzenie Banacha o punkcie stałym dla odwzorowań kontrakcji w pełnych przestrzeniach metrycznych zostało udowodnione w 1922 r.). Nastąpiło wiele dalszych wyników. Jednym ze sposobów, w jaki tego rodzaju twierdzenia o punktach stałych wywarły większy wpływ na matematykę jako całość, jest próba przeniesienia metod topologii algebraicznej, po raz pierwszy udowodnionych dla skończonych kompleksów symplicalnych, do przestrzeni o nieskończonym wymiarze . Na przykład badania Jeana Leraya , który założył teorię snopów, były wynikiem wysiłków zmierzających do rozszerzenia pracy Schaudera.
Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym : Niech C będzie niepustym domkniętym wypukłym podzbiorem przestrzeni Banacha V . Jeśli f : C → C jest ciągłe ze zwartym obrazem, to f ma punkt stały.
Twierdzenie Tichonowa (Tychonowa) o punkcie stałym: Niech V będzie lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową . Dla dowolnego niepustego zwartego zbioru wypukłego X w V , każda funkcja ciągła f : X → X ma punkt stały.
Twierdzenie Browdera o punkcie stałym: Niech K będzie niepustym, zamkniętym, ograniczonym, wypukłym zbiorem w jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha . Wtedy każda nieekspansywna funkcja f : K → K ma punkt stały. Funkcja nazywana jest nieekspansywną, jeśli dla każdego y .)
Inne wyniki obejmują twierdzenie Markowa-Kakutaniego o punkcie stałym (1936-1938) i twierdzenie Rylla-Nardzewskiego o punkcie stałym (1967) dla ciągłych afinicznych samoodwzorowań zwartych zbiorów wypukłych, a także twierdzenie Earle-Hamiltona o punkcie stałym (1968) dla holomorficznych samo-mapowań otwartych domen.
Twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym : Każda zgodność, która odwzorowuje zwarty wypukły podzbiór przestrzeni lokalnie wypukłej na siebie z zamkniętym wykresem i wypukłymi niepustymi obrazami, ma punkt stały.
Zobacz też
- Vasile I. Istratescu, Teoria punktu stałego, wprowadzenie , D.Reidel, Holandia (1981). ISBN 90-277-1224-7 .
- Andrzej Granas i James Dugundji , Teoria punktu stałego (2003) Springer-Verlag, Nowy Jork, ISBN 0-387-00173-5 .
- William A. Kirk i Brailey Sims , Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2 .