Lemat Douglasa

W teorii operatorów , obszarze matematyki, lemat Douglasa dotyczy faktoryzacji , włączenia zakresu i majoryzacji operatorów przestrzeni Hilberta . Ogólnie przypisuje się go Ronaldowi G. Douglasowi , chociaż Douglas przyznaje, że pewne aspekty wyniku mogły już być znane. Oświadczenie o wyniku jest następujące:

Twierdzenie : Jeśli i są operatorami ograniczonymi w przestrzeni Hilberta $}$ następujące są równoważne: ZA $A$$displaystyle$

1. ${\ Displaystyle \ operatorname {zakres} A \ subseteq \ operatorname {zakres} B}$
2. $\ Displaystyle AA ^ {*} \ równoważnik \ lambda ^ {2} BB ^ {*}}$ dla niektórych ${\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}$
3. Istnieje ograniczony operator na ${\ displaystyle H$$}$ taki, że $\ displaystyle A = BC}$ .

$,$ warunki są spełnione, to istnieje unikalny operator taki że

• ${2} = \ inf \ {\ mu: \, AA ^ {*} \ równoważnik \ mu BB ^{*}\}}$
• ${\ Displaystyle \ ker A = \ ker C}$
• ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {zakres} do \ subseteq {\ overline {\ nazwa operatora {zakres} B ^ {*}}}}$ .

Uogólnienie lematu Douglasa dla operatorów nieograniczonych w przestrzeni Banacha zostało udowodnione przez Forougha (2014).

Zobacz też

• Operator dodatni