Dzielnik jednostkowy

W matematyce liczba naturalna a jest dzielnikiem jednostkowym (lub dzielnikiem Halla $,$ liczby b jeśli a jest dzielnikiem b i jeśli a i są względnie pierwsze , nie mający wspólnego czynnika innego niż 1. Zatem 5 jest jednostkowym dzielnikiem 60, ponieważ 5 i ${\ Displaystyle {\ Frac {60} {5}} = 12}$ mają tylko 1 jako wspólny czynnik, podczas gdy 6 jest dzielnikiem, ale nie jednostkowym dzielnikiem 60, ponieważ 6 i ${\ Displaystyle {\ Frac {60} {6}} = 10}$ mają wspólny czynnik inny niż 1, czyli 2. 1 jest jednostkowym dzielnikiem każdej liczby naturalnej.

Równoważnie, dzielnik a z b jest dzielnikiem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik pierwszy z a ma taką samą krotność w a jak ma w b .

Funkcja sumy dzielników jednostkowych jest oznaczona małą grecką literą sigma w następujący sposób: σ*( n ). Suma k -tych potęg dzielników jednostkowych jest oznaczona przez σ* _k ( n ):

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} ^ {*} (n) = \ suma _ {d \, \ mid \, n \ na szczycie \ gcd (d, \, n/d) = 1} \! \! d ^ {k}.}$

Jeżeli odpowiednie dzielniki jednostkowe danej liczby sumują się do tej liczby, to taką liczbę nazywamy jednostkową liczbą doskonałą .

Koncepcja dzielnika jednostkowego pochodzi od R. Vaidyanathaswamy'ego (1931) [Teoria multiplikatywnych funkcji arytmetycznych. Transactions of the American Mathematical Society, 33(2), 579--662], który użył terminu dzielnik blokowy .

Nieruchomości

Liczba jednostkowych dzielników liczby n wynosi 2 ^k , gdzie k jest liczbą różnych czynników pierwszych liczby n .

Dzieje się tak, ponieważ każda liczba całkowita N > 1 jest iloczynem dodatnich potęg p ^{r _p} różnych liczb pierwszych p . Zatem każdy jednostkowy dzielnik N jest iloczynem nad danym podzbiorem S dzielników pierwszych { p } N , potęg pierwszych p ^{r _p} dla p ∈ S . Jeśli jest k czynników pierwszych, to jest dokładnie 2 ^k podzbiorów S , a następnie następuje stwierdzenie.

Suma jednostkowych dzielników n jest nieparzysta , jeśli n jest potęgą 2 (w tym 1), a nawet w przeciwnym razie.

Zarówno liczba, jak i suma jednostkowych dzielników n są multiplikatywnymi funkcjami n , które nie są całkowicie multiplikatywne . Funkcja generująca Dirichleta to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (s) \ zeta (sk)} {\ zeta (2s-k)}} = \ suma _ {n \ geq 1} {\ Frac {\ sigma _ {k} ^ { *}(n)}{n^{s}}}.}$

Każdy dzielnik n jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest wolne od kwadratów .

Nieparzyste dzielniki unitarne

Suma k -tych potęg nieparzystych dzielników jednostkowych wynosi

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} ^ {(o) *} (n) = \ suma _ {{d \, \ mid \, n \ na szczycie d \ równoważnik 1 {\ pmod {2}}} \ na szczycie \ gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

Jest również multiplikatywny, z funkcją generującą Dirichleta

${\ Displaystyle {\ Frac {\ zeta (s) \ zeta (sk) (1-2 ^ {ks})} {\ zeta (2s-k) (1-2 ^ {k-2s})}} = \ suma _ {n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

Dwujednostkowe dzielniki

Dzielnik d od n jest dzielnikiem dwujednostkowym , jeśli największym wspólnym dzielnikiem jednostkowym d i n / d jest 1. Koncepcja ta pochodzi od D. Suryanarayana (1972). [Liczba dwujednostkowych dzielników liczby całkowitej, w The Theory of Arithmetic Functions, Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282, New York, Springer – Verlag].

Liczba dwujednostkowych dzielników n jest multiplikatywną funkcją n ze średnim rzędem gdzie ${\ Displaystyle A \ log x}$

${\ Displaystyle A = \ prod _ {p} \ lewo ({1- {\ Frac {p-1} {p ^ {2} (p + 1)}}} \ prawej) \ .}$

Dwujednostkowa liczba doskonała to jeden równy sumie swoich dwujednostkowych dzielników podwielokrotności. Jedyne takie liczby to 6, 60 i 90.

Sekwencje OEIS

• ₀ OEIS : A034444 to σ ( n )
•   OEIS : A034448 wynosi σ ₁ ( n )
•   OEIS : A034676 do OEIS : A034682 to σ ₂ ( n ) do σ ₈ ( n )
•  ₀ OEIS : A068068 to σ ^(o)* ( n )
•   OEIS : A192066 to σ ^(o)* ₁ ( n )
•   OEIS : A064609 jest ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ sigma _ {1} (i)}$

•   Richard K. Guy (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb . Springer-Verlag . P. 84. ISBN 0-387-20860-7 . Sekcja B3.
•   Paulo Ribenboim (2000). Moje liczby, moi przyjaciele: popularne wykłady z teorii liczb . Springer-Verlag. P. 352. ISBN 0-387-98911-0 .
•   Cohen, Eckford (1959). „Klasa systemów resztowych (mod r) i powiązane funkcje arytmetyczne. I. Uogólnienie inwersji Möbiusa” . Pacific J. Matematyka . 9 (1): 13–23. doi : 10.2140/pjm.1959.9.13 . MR 0109806 .
•    Cohen, Eckford (1960). „Funkcje arytmetyczne związane z jednostkowymi dzielnikami liczby całkowitej”. Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi : 10.1007/BF01180473 . MR 0112861 . S2CID 53004302 .
•    Cohen, Eckford (1960). „Liczba jednostkowych dzielników liczby całkowitej”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 67 (9): 879–880. doi : 10.2307/2309455 . JSTOR 2309455 . MR 0122790 .
•   Cohen, Graeme L. (1990). „O nieskończonych dzielnikach liczb całkowitych” . Matematyka komp . 54 (189): 395–411. Bibcode : 1990MaCom..54..395C . doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR 0993927 .
• Cohen, Graeme L. (1993). „Funkcje arytmetyczne związane z nieskończonymi dzielnikami liczby całkowitej” . Int. J. Matematyka. Matematyka nauka . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Finch, Steven (2004). „Unitaryzm i infinitaryzm” (PDF) .
•    Ivić, Aleksandar (1985). Funkcja zeta Riemanna. Teoria funkcji zeta Riemanna z zastosowaniami . Publikacja Wiley-Interscience. Nowy Jork itp.: John Wiley & Sons. P. 395. ISBN 0-471-80634-X . Zbl 0556.10026 .
• Mathar, RJ (2011). „Przegląd serii Dirichleta multiplikatywnych funkcji arytmetycznych”. arXiv : 1106.4038 [ matematyka.NT ]. Sekcja 4.2
•    Sandor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borysław, wyd. (2006). Podręcznik teorii liczb I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9 . Zbl 1151.11300 .
• Toth, L. (2009). „O dwujednostkowych analogach funkcji arytmetycznej Eulera i funkcji sumy gcd” . J. Int. nast . 12 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „dzielnik jednostkowy” . MathWorld .
• Mathoverflow | Boolowski pierścień jednostkowych dzielników