Bardzo obfity numer

Sumy dzielników, w prętach Cuisenaire'a , pierwszych sześciu bardzo obfitych liczb

W matematyce liczba bardzo obfita to liczba naturalna , której suma dzielników (w tym samej siebie) jest większa niż suma dzielników dowolnej mniejszej liczby naturalnej.

Bardzo liczne liczby i kilka podobnych klas liczb zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Pillai ( 1943 ), a wczesne prace na ten temat wykonali Alaoglu i Erdős ( 1944 ). Alaoglu i Erdős zestawili wszystkie bardzo obfite liczby do 10 ⁴ i wykazali, że liczba bardzo obfitych liczb mniejszych niż jakiekolwiek N jest co najmniej proporcjonalna do log ² N .

Definicja formalna i przykłady

Formalnie liczba naturalna n nazywana jest bardzo obfitą wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich liczb naturalnych m < n ,

${\ Displaystyle \ sigma (n)> \ sigma (m)}$

gdzie σ oznacza funkcję sumy dzielników . Kilka pierwszych bardzo obfitych liczb to

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... (sekwencja A002093 w OEIS ).

Na przykład 5 nie jest bardzo obfite, ponieważ σ(5) = 5+1 = 6 jest mniejsze niż σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, podczas gdy 8 jest bardzo obfite, ponieważ σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 jest większe niż wszystkie poprzednie wartości σ.

Jedynymi liczbami nieparzystymi występującymi w dużej liczbie są 1 i 3.

Relacje z innymi zbiorami liczb

Diagram Eulera obfitych , prymitywnych obfitych , bardzo obfitych , nadobfitych , kolosalnie obfitych , wysoce złożonych , nadrzędnych wysoce złożonych , dziwnych i doskonałych liczb poniżej 100 w stosunku do liczb niedostatecznych i złożonych

Chociaż pierwszych osiem silni jest bardzo obfitych, nie wszystkie silnie są bardzo obfite. Na przykład,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

ale istnieje mniejsza liczba z większą sumą dzielników,

σ(360360) = 1572480,

więc 9! nie jest bardzo obfity.

Alaoglu i Erdős zauważyli, że wszystkie liczby występujące w nadmiarze są bardzo obfite i zapytali, czy istnieje nieskończenie wiele liczb bardzo obfitych, które nie występują w nadmiarze. Na to pytanie odpowiedział twierdząco Jean-Louis Nicolas ( 1969 ).

Pomimo terminologii, nie wszystkie bardzo obfite liczby są liczbami obfitymi . W szczególności żadna z pierwszych siedmiu bardzo obfitych liczb (1, 2, 3, 4, 6, 8 i 10) nie jest obfita. Wraz z 16, dziewiątą bardzo obfitą liczbą, są to jedyne bardzo obfite liczby, które nie są obfite.

7200 to największa potężna liczba , która jest również bardzo obfita: wszystkie większe, bardzo obfite liczby mają czynnik pierwszy, który dzieli je tylko raz. Dlatego 7200 jest również największą liczbą występującą w dużej liczbie z nieparzystą sumą dzielników.

Notatki

•    Alaoglu, L .; Erdős, P. (1944). „O liczbach wysoce złożonych i podobnych” (PDF) . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 56 (3): 448–469. doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . MR 0011087 .
•   Nicolas, Jean-Louis (1969). „Ordre maximal d'un élément du groupe S _n des permutations et„ wysoce złożone liczby ” ” . Byk. soc. Matematyka Francja . 97 : 129–191. doi : 10.24033/bsmf.1676 . MR 0254130 .
•   Pilaj, SS (1943). „Wysoce obfite liczby”. Byk. Kalkuta Matematyka. soc . 35 : 141–156. MR 0010560 .