Liczba ośmiościenna

146 kulek magnetycznych , zapakowanych w formie ośmiościanu

W teorii liczb liczba ośmiościenna jest liczbą figuratywną , która reprezentuje liczbę kulek w ośmiościanie utworzonym z gęsto upakowanych kulek . Liczbę $n$ ośmiościenną można otrzymać za pomocą wzoru: { $}$

${\ Displaystyle O_ {n} = {n (2n ^ {2} + 1) \ ponad 3}.}$

Kilka pierwszych liczb ośmiościennych to:

1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146, 231, 344, 489, 670, 891 (sekwencja A005900 w OEIS ).

Właściwości i zastosowania

Liczby oktaedryczne mają funkcję generującą

${\ Displaystyle {\ Frac {z (z + 1) ^ {2}} {(z-1) ^ {4}}} = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} O_ {n} z ^ {n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

Sir Frederick Pollock przypuszczał w 1850 r., że każda dodatnia liczba całkowita jest sumą co najwyżej 7 liczb oktaedrycznych. To stwierdzenie, hipoteza Pollocka o liczbach oktaedrycznych , zostało udowodnione dla wszystkich liczb z wyjątkiem skończenie wielu.

W chemii liczby oktaedryczne mogą być używane do opisania liczby atomów w klastrach oktaedrycznych; w tym kontekście nazywane są liczbami magicznymi .

Stosunek do innych liczb figuratywnych

Kwadratowe piramidy

Oktaedryczne upakowanie kul można podzielić na dwie kwadratowe piramidy , jedną odwróconą pod drugą, dzieląc je wzdłuż kwadratowego przekroju poprzecznego. Dlatego liczbę ośmiościenną $n$ można uzyskać, dodając do siebie dwie kolejne kwadratowe liczby piramidalne: $}$ {

${\ Displaystyle O_ {n} = P_ {n-1} + P_ {n}.}$

czworościany

Jeśli jest liczbą ${$ ośmiościenną i $}$$Displaystyle$ liczbą czworościenną $,$ to \

${\ Displaystyle O_ {n} + 4T_ {n-1} = T_ {2n-1}.}$

Przedstawia to geometryczny fakt, że przyklejenie czworościanu do każdej z czterech niesąsiadujących ścian ośmiościanu daje czworościan dwukrotnie większy.

Możliwa jest również inna zależność między liczbami ośmiościennymi a liczbami czworościennymi, oparta na fakcie, że ośmiościan można podzielić na cztery czworościany, z których każdy ma dwie sąsiednie pierwotne ściany (lub alternatywnie, na podstawie faktu, że każda kwadratowa liczba piramidalna jest sumą dwóch czworościanów liczby):

${\ Displaystyle O_ {n} = T_ {n} + 2T_ {n-1} + T_ {n-2}.}$

Kostki

Jeśli dwa czworościany są przymocowane do przeciwległych ścian ośmiościanu, wynikiem jest romboedr . Liczba ściśle upakowanych kulek w romboedrze to sześcian , co uzasadnia równanie

${\ Displaystyle O_ {n} + 2T_ {n-1} = n ^ {3}.}$

Wyśrodkowane kwadraty

Kwadratowe piramidy, w których każda warstwa ma wyśrodkowaną kwadratową liczbę kostek. Całkowita liczba sześcianów w każdej piramidzie jest liczbą ośmiościenną.

Różnica między dwiema kolejnymi liczbami ośmiościennymi to wyśrodkowana liczba kwadratowa :

${\ Displaystyle O_ {n} -O_ {n-1} = C_ {4, n} = n ^ {2} + (n-1) ^ {2}.}$

Dlatego liczba ośmiościenna reprezentuje również liczbę punktów w kwadratowej piramidzie utworzonej przez ułożenie wyśrodkowanych kwadratów; z tego powodu w swojej książce Arithmeticorum libri duo (1575) Francesco Maurolico nazwał te liczby „pyramides quadratae secundae”.

Liczba sześcianów w ośmiościanie utworzonym przez ułożenie wyśrodkowanych kwadratów jest wyśrodkowaną liczbą ośmiościenną , sumą dwóch kolejnych liczb ośmiościennych. Te liczby są

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (sekwencja A001845 w OEIS )

dana formułą

${\ Displaystyle O_ {n} + O_ {n-1} = {\ Frac {(2n-1) ( 2n^{2}-2n+3)}{3}}}$ dla n = 1, 2, 3, ...

Historia

Wydaje się, że pierwsze badanie liczb ośmiościennych zostało przeprowadzone przez René Descartesa około 1630 r. w jego De solidorum elementis . Przed Kartezjuszem liczby figuratywne były badane przez starożytnych Greków i Johanna Faulhabera , ale tylko dla liczb wielokątnych , liczb piramidalnych i sześcianów . Kartezjusz wprowadził badanie liczb figuratywnych w oparciu o bryły platońskie i niektóre z półregularnych wielościanów ; jego praca obejmowała liczby ośmiościenne. Jednak De solidorum elementis zaginął i został ponownie odkryty dopiero w 1860 r. W międzyczasie liczby oktaedryczne były ponownie badane przez innych matematyków, w tym Friedricha Wilhelma Marpurga w 1774 r., Georga Simona Klügela w 1808 r. i Sir Fredericka Pollocka w 1850 r.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Liczba ośmiościenna” . MathWorld .