Liczba piramidalna

Reprezentacja geometryczna kwadratowej liczby piramidalnej 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Liczba piramidalna to liczba figuralna reprezentująca piramidę z wielokątną podstawą i określoną liczbą trójkątnych boków. Liczba piramidalna to liczba punktów w piramidzie, gdzie każda warstwa piramidy jest wielokątem punktów o bokach r . Termin ten często odnosi się do kwadratowych liczb piramidalnych , które mają kwadratową podstawę z czterema bokami, ale może również odnosić się do piramid z trzema lub więcej bokami. Liczby punktów w podstawie (oraz w warstwach równoległych do podstawy) są podane przez liczby wielokątne danej liczby boków, podczas gdy liczba punktów na każdym boku trójkąta jest określona przez liczbę trójkątną . Liczby piramidalne można rozszerzyć do wyższych wymiarów.

Formuła

Wzór na n -tą r -gonalną liczbę piramidalną to

${\ Displaystyle P_ {n} ^ {r} = {\ Frac {3n ^ {2} + n ^ {3 }(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

gdzie r ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ , r ≥ 3 .

Formułę tę można rozłożyć na czynniki:

${\ Displaystyle P_ {n} ^ {r} = {\ Frac {n (n + 1) {\ bigl (} n (r -2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({ \frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3} },}$

gdzie T _n jest n- tą liczbą trójkątną .

Sekwencje

Kilka pierwszych trójkątnych liczb piramidalnych (odpowiednik liczb czworościennych ) to:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (sekwencja A000292 w OEIS )

Kilka pierwszych kwadratowych liczb piramidalnych to:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... (sekwencja A000330 w OEIS ).

Kilka pierwszych pięciokątnych liczb piramidalnych to:

1 , 6 , 18 , 40 , 75 , 126 , 196 , 288 , 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126 (sekwencja A002411 w OEIS ).

Kilka pierwszych sześciokątnych liczb piramidalnych to:

1 , 7 , 22 , 50 , 95 , 161 , 252 , 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 (sekwencja A002412 w OEIS ).

Kilka pierwszych siedmiokątnych liczb piramidalnych to:

1 , 8 , 26 , 60 , 115 , 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... (sekwencja A002413 w OEIS )