Wyśrodkowany trójkątny numer

Wyśrodkowana (lub wyśrodkowana ) liczba trójkątna to wyśrodkowana liczba figuratywna , która reprezentuje trójkąt równoboczny z kropką pośrodku i wszystkimi innymi kropkami otaczającymi środek w kolejnych warstwach trójkąta równobocznego.

Poniższy rysunek przedstawia budowanie wyśrodkowanych liczb trójkątnych za pomocą powiązanych figur: na każdym etapie poprzedni trójkąt (pokazany na czerwono) jest otoczony trójkątną warstwą nowych kropek (na niebiesko).

Nieruchomości

• n Gnomon n - tej wyśrodkowanej liczby trójkątnej, odpowiadającej ( n + 1)-tej warstwie , to:

${\ Displaystyle C_ {3, n + 1} -C_ {3, n} = 3 (n + 1).}$

• N - ta wyśrodkowana liczba trójkątna, odpowiadająca n warstwom plus środek, jest określona wzorem:

${\ Displaystyle C_ {3, n} = 1 + 3 {\ Frac {n (n + 1)}} {2}} = {\ Frac {3n ^ {2} + 3n + 2} {2}}.}$

• Każdy wyśrodkowana liczba trójkątna ma resztę 1 przy dzieleniu przez 3, a iloraz (jeśli jest dodatni) jest poprzednią regularną liczbą trójkątną.

• Każda wyśrodkowana trójkątna liczba od 10 wzwyż jest sumą trzech kolejnych regularnych liczb trójkątnych .

• Dla n > 2 suma pierwszych n wyśrodkowanych liczb trójkątnych jest magiczną stałą dla n na n normalnego kwadratu magicznego .

Związek z wyśrodkowanymi liczbami kwadratowymi

Wyśrodkowane liczby trójkątne można wyrazić za pomocą wyśrodkowanych liczb kwadratowych:

${\ Displaystyle C_ {3, n} = {\ Frac {3C_ {4, n} + 1} {4}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle C_ {4, n} = n ^ {2} + (n + 1) ^ {2}.}$

Listy wyśrodkowanych liczb trójkątnych

Pierwsze wyśrodkowane liczby trójkątne ( C _{3, n} < 3000) to:

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 82 9, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, … (s sekwencja A005448 w OEIS ) .

Pierwsze jednocześnie trójkątne i wyśrodkowane liczby trójkątne ( C _{3, n} = T _N < 10 ⁹ ) to:

1, 10, 136, 1 891, 26 335, 366 796, 5 108 806, 71 156 485, 991 081 981, … (sekwencja A128862 w OEIS ) .

Funkcja generująca

Funkcja generująca, która daje wyśrodkowane liczby trójkątne, to:

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2} + x + 1} {(1-x) ^ {3}}} = 1 + 4x + 10x ^ {2} + 19x ^ {3} + 31x ^ {4 }+~...~.}$

•   Lancelot Hogben : Mathematics for the Million (1936), ponownie opublikowane przez WW Norton & Company (wrzesień 1993), ISBN 978-0-393-31071-9
• Weisstein, Eric W. „Centralna liczba trójkątna” . MathWorld .