Wyśrodkowany numer sześcianu

Wyśrodkowany numer sześcianu

35 punktów w siatce sześciennej skupionej na ciele, tworzącej dwie sześcienne warstwy wokół centralnego punktu.
Nr całkowity warunków	Nieskończoność
Podsekwencja _	Liczby wielościenne
Formuła	${\ Displaystyle n ^ {3} + (n + 1) ^ {3}}$
Pierwsze warunki	1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341 , 559
Indeks OEIS	A005898 Wyśrodkowany sześcian

Wyśrodkowana liczba sześcienna to wyśrodkowana liczba figuralna , która zlicza punkty w trójwymiarowym wzorze utworzonym przez punkt otoczony koncentrycznymi sześciennymi warstwami punktów, przy czym i ² punkty znajdują się na kwadratowych powierzchniach i- tej warstwy. Równoważnie, jest to liczba punktów sześciennego wzoru skupionego na ciele w sześcianie, który ma n + 1 punktów wzdłuż każdej krawędzi.

Kilka pierwszych wyśrodkowanych numerów kostek to

1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331 , 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ... (sekwencja A005898 w OEIS ).

Formuły

Wyśrodkowany numer kostki dla wzoru z n koncentrycznymi warstwami wokół centralnego punktu jest określony wzorem

${\ Displaystyle n ^ {3} + (n + 1) ^ {3} = (2n + 1) \ lewo (n ^ {2} + n + 1 \ prawo).}$

Ta sama liczba może być również wyrażona jako liczba trapezowa (różnica dwóch liczb trójkątnych ) lub suma kolejnych liczb, jak

${\ Displaystyle {\ binom {(n + 1) ^ {2} + 1} {2}} - {\ binom {n ^ {2} + 1} {2}} = (n ^ {2} + 1) +(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.}$

Nieruchomości

Ze względu na rozkład na czynniki (2 n + 1)( n ² + n + 1) niemożliwe jest, aby wyśrodkowany sześcian był liczbą pierwszą . Jedynymi wyśrodkowanymi liczbami sześciennymi, które są jednocześnie liczbami kwadratowymi , są 1 i 9, co można pokazać, rozwiązując x ² = y ³ + 3 y , przy czym jedynymi rozwiązaniami całkowitymi są (x, y) z {(0,0), ( 1,2), (3,6), (12,42)}, Podstawiając a=(x-1)/2 i b=y/2, otrzymujemy x^2=2y^3+3y^2+ 3 lata + 1. Daje to tylko (a,b) z {(-1/2,0), (0,1), (1,3), (11/2,21)} gdzie a,b są liczbami połówkowymi.

Zobacz też

• Numer sześcianu

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Centered Cube Number” . MathWorld .