Sekwencja leniwego cateringu

Naleśnik pokrojony na siedem kawałków trzema prostymi cięciami.

Sekwencja leniwego dostawcy żywności, bardziej formalnie znana jako środkowe liczby wielokątne , opisuje maksymalną liczbę kawałków dysku ( do opisania sytuacji zwykle używa się naleśnika lub pizzy ), które można wykonać za pomocą określonej liczby prostych cięć. Na przykład trzy nacięcia w poprzek naleśnika wyprodukują sześć kawałków, jeśli wszystkie nacięcia spotkają się we wspólnym punkcie wewnątrz okręgu, ale do siedmiu, jeśli nie. Problem ten można sformalizować matematycznie jako jeden ze zliczania komórek w układzie linii ; uogólnienia na wyższe wymiary, patrz układ hiperpłaszczyzn .

Analogiem tej sekwencji w trzech wymiarach są liczby ciast .

Formuła i sekwencja

Maksymalna liczba kawałków p , jaką można uzyskać za pomocą n cięć prostych, to n -ta liczba trójkątna plus jeden, tworząca ciąg leniwej firmy cateringowej (OEIS A000124)

Maksymalną liczbę p sztuk, które można utworzyć przy danej liczbie cięć n (gdzie n ≥ 0 ) określa wzór

${\ Displaystyle p = {\ Frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}$

Używając współczynników dwumianowych , wzór można wyrazić jako

${\ Displaystyle p = 1 + {\ dbinom {n + 1} {2}} = {\ dbinom {n} {0}} + {\ dbinom {n} {1}} + {\ dbinom {n} {2 }}.}$

Mówiąc najprościej, każda liczba jest równa liczbie trójkątnej plus 1.

Sekwencja leniwego dostawcy żywności (zielona) i inne sekwencje OEIS w trójkącie Bernoulliego

Ponieważ trzecia kolumna trójkąta Bernoulliego ( k = 2) jest liczbą trójkątną plus jeden, tworzy ciąg leniwego dostawcy żywności dla n cięć, gdzie n ≥ 2.

Sekwencję można alternatywnie wyprowadzić z sumy maksymalnie 3 pierwszych wyrazów każdego rzędu trójkąta Pascala :

k N	0	1	2		Suma
0	1	-	-		1
1	1	1	-		2
2	1	2	1		4
3	1	3	3		7
4	1	4	6		11
5	1	5	10		16
6	1	6	15		22
7	1	7	21		29
8	1	8	28		37
9	1	9	36		46

Sekwencja ta (sekwencja A000124 w OEIS ), rozpoczynająca się od n = 0 , daje zatem

1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , 22 , 29 , 37 , 46 , 56 , 67 , 79 , 92 , 106 , 121 , 137 , 154 , 172 , 191 , 211 , ...

Jego trójwymiarowy odpowiednik jest znany jako liczba ciast . Różnica między kolejnymi numerami ciast daje sekwencję leniwego cateringu.

Dowód

Maksymalna ilość kawałków z kolejnych cięć to liczby w Sekwencji Leniwego Żywiciela.

Gdy koło zostanie przecięte n razy, aby uzyskać maksymalną liczbę części, reprezentowaną jako p = f ( n ) , należy wziąć pod uwagę n -te cięcie; liczba sztuk przed ostatnim cięciem to f ( n − 1) , natomiast liczba kawałków dodanych przez ostatnie cięcie to n .

Aby uzyskać maksymalną liczbę kawałków, n -ta linia cięcia powinna przecinać wszystkie poprzednie linie cięcia wewnątrz okręgu, ale nie przecinać żadnego przecięcia poprzednich linii cięcia. Zatem n -ta prosta jest przecięta w n − 1 miejscach i na n odcinków. Każdy segment dzieli jeden kawałek ( n − 1) na 2 części, dodając dokładnie n do ilości sztuk. Nowa linia nie może mieć więcej segmentów, ponieważ każdą poprzednią linię może przecinać tylko raz. Linia cięcia może zawsze przecinać wszystkie poprzednie linie cięcia, ponieważ obracanie noża pod małym kątem wokół punktu, który nie jest istniejącym przecięciem, jeśli kąt jest wystarczająco mały, przetnie wszystkie poprzednie linie, w tym ostatnią dodaną.

Zatem całkowita liczba sztuk po n cięciach wynosi

${\ Displaystyle f (n) = n + f (n-1).}$

Tę relację powtarzalności można rozwiązać. Jeśli f ( n - 1) zostanie rozszerzone o jeden wyraz, relacja staje się

${\ Displaystyle f (n) = n + (n-1) + f (n-2).}$

Rozwinięcie terminu f ( n − 2) może trwać, aż ostatni wyraz zostanie zredukowany do f (0) , a zatem

${\ Displaystyle f (n) = n + (n-1) + (n-2) + \ cdots + 1 + f (0).}$

Ponieważ f (0) = 1 , ponieważ przed wykonaniem jakichkolwiek cięć jest jeden kawałek, można to zapisać jako

${\ Displaystyle f (n) = 1 + (1 + 2 + 3 + \ cdots + n).}$

Można to uprościć, używając wzoru na sumę postępu arytmetycznego :

${\ Displaystyle f (n) = 1 + {\ Frac {n (n + 1)}} {2}} = {\ Frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}$

Zobacz też

• Numer ciasta
• Trójkąt Floyda
• Dzielenie koła na obszary – gdzie n to liczba boków wpisanego wielokąta

Notatki

•   Moore, TL (1991), „Używanie wzoru Eulera do rozwiązywania problemów z separacją płaszczyzn”, The College Mathematics Journal , Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi : 10,2307/2686448 , JSTOR 2686448 .

• Steiner, J. (1826), „Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes („Kilka stwierdzeń o podziale płaszczyzny i przestrzeni”), J. Reine Angew. Matematyka , 1 : 349–364 .

• Wetzel, JE (1978),   „O podziale płaszczyzny przez linie” (PDF) , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi : 10.2307/2320333 , JSTOR 2320333 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w 2011 r. -07-21 , pobrano 2008-12-15 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Podział koła według linii” . MathWorld .