Kiedy k jest równe n , wartość nie może być liczbą pierwszą, ponieważ n 2 − n + n = n 2 jest podzielne przez n . Ponieważ wielomian można zapisać jako k ( k −1) + n , użycie liczb całkowitych k z − ( n −1) < k ≤ 0 daje ten sam zestaw liczb, co 1 ≤ k < n . Wszystkie te wielomiany należą do większego zbioru wielomianów generujących liczby pierwsze.
Leonhard Euler opublikował wielomian k 2 − k + 41 , który daje liczby pierwsze dla wszystkich wartości całkowitych k od 1 do 40. Istnieje tylko 7 szczęśliwych liczb Eulera, a mianowicie 1, 2, 3, 5, 11, 17 i 41 (sekwencja A014556 w OEIS ). Zauważ, że wszystkie te liczby są liczbami pierwszymi oprócz 1.
Szczęśliwe liczby Eulera nie mają związku z „ szczęśliwymi liczbami ” zdefiniowanymi przez algorytm sitowy. W rzeczywistości jedyną liczbą, która jest zarówno szczęśliwa, jak i szczęśliwa Eulera, jest 3, ponieważ wszystkie inne liczby szczęśliwe Eulera są przystające do 2 modulo 3, ale żadna szczęśliwa liczba nie jest przystająca do 2 modulo 3.
