Multiplikatywny pierwiastek cyfrowy

W teorii liczb multiplikatywny pierwiastek cyfrowy $displaystyle$ naturalnej w danej podstawie liczbowej znajduje się przez pomnożenie cyfr razem , a następnie powtarzanie tej operacji $b$ aż tylko b { $\$ pozostaje jednocyfrowy, który nazywa się multiplikatywnym cyfrowym pierwiastkiem ${\ displaystyle n}$ . Multiplikatywny cyfrowy pierwiastek dla kilku pierwszych dodatnich liczb całkowitych to:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 2, 8, 4, 0 (sekwencja A031347 w OEIS )

Multiplikatywne pierwiastki cyfrowe są multiplikatywnym odpowiednikiem pierwiastków cyfrowych .

Definicja

Niech ${\ displaystyle n}$ będzie liczbą naturalną. Definiujemy iloczyn cyfrowy dla podstawy ${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ jako:

${\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}$

gdzie $\ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor + 1}$ = to liczba cyfr w liczbie w podstawie ${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b} }^{i}}{b^{i}}}}$

jest wartością każdej cyfry liczby. Liczba naturalna $cyfrowym,$ multiplikatywnym $\ displaystyle F_ {b}$ jeśli stałym dla , , jeśli ${$ .

Na przykład w podstawie ${\ displaystyle b = 10}$ 0 jest multiplikatywnym cyfrowym pierwiastkiem z 9876, jak

${\ Displaystyle F_ {10} (9876) = (9) (8) (7) (6) = 3024} fa 10 ( 3024 ) = ( 3 ) ( )$

$3)(0)(2)(4)=0$

${\ Displaystyle F_ {10} (0) = 0}$

Wszystkie liczby $naturalne$ punktami $przedokresowymi$ dla niezależnie podstawy Dzieje się tak, ponieważ jeśli ${\ displaystyle n \ geq b}$ , to

$\ Displaystyle n = \ suma _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} b ^ {i}}$

i dlatego

${\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ prod _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} = d_ {k-1} \ prod _ {i = 0} ^ {k-2} d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\suma_{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

Jeśli ${\ displaystyle n <b}$ , to trywialnie

${\ Displaystyle F_ {b} (n) = n}$

$0\leq n<b$ liczby naturalne b $0\leq n<b$.

Trwałość multiplikatywna

Liczba $multiplikatywną$ potrzebnych $_$ punktu _ _ _ $_$ _ Trwałość multiplikatywna jest niezdefiniowana, jeśli nigdy nie osiąga stałego punktu.

Przy podstawie 10 przypuszcza się, że nie ma liczby z trwałością multiplikatywną $,$ że jest to prawdą dla liczb $}$$\ Displaystyle n \ leq 10 ^$ . Najmniejsze liczby o trwałości 0, 1, ... to:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (sekwencja A003001 w OEIS )

Wyszukiwanie tych liczb można przyspieszyć, korzystając z dodatkowych właściwości cyfr dziesiętnych tych rekordowych liczb. Te cyfry muszą być posortowane i, z wyjątkiem pierwszych dwóch cyfr, wszystkie cyfry muszą być 7, 8 lub 9. Istnieją również dodatkowe ograniczenia dotyczące pierwszych dwóch cyfr. W oparciu o te ograniczenia liczba kandydatów na $czyli$ liczby z rekordową trwałością jest tylko proporcjonalna do kwadratu $displaystyle$ małego ułamka wszystkich możliwych $k}$ -cyfrowe liczby. Jednak każda liczba, której brakuje w powyższej sekwencji, miałaby trwałość multiplikatywną > 11; uważa się, że takie liczby nie istnieją i musiałyby mieć ponad 20 000 cyfr, gdyby istniały.

Rozszerzenie na ujemne liczby całkowite

Multiplikatywny cyfrowy pierwiastek można rozszerzyć na ujemne liczby całkowite, używając reprezentacji cyfr ze znakiem do reprezentacji każdej liczby całkowitej.

Przykład programowania

Poniższy przykład implementuje iloczyn cyfrowy opisany w powyższej definicji w celu wyszukiwania multiplikatywnych cyfrowych pierwiastków i multiplikatywnych trwałości w Pythonie .

      
       0
         0
      
       
             0
             0
             
                   def  digit_product  (  x  :  int  ,  b  :  int  )  ->  int  :  if  x  ==  :  zwraca  sumę  =  1  podczas gdy  x  >  1  :  if  x  %  b  ==  :  zwraca  if  x  %  b  >  1  :  suma  =  suma  *  (  x  %  b 
            
     


      
      
        
        
           
      )  x  =  x  //  b  return  total  def  multiplicative_digital_root  (  x  :  int  ,  b  :  int  )  ->  int  :  widziane  =  [ ]  podczas gdy  x  nie  jest  widoczne  :  widziane  .  dołącz  (  x  )  x  =  iloczyn_cyfry  (  x  ,  b  )  zwróć  x 


      
      
        
        
           
        def  multiplicative_persistence  (  x  :  int  ,  b  :  int  )  ->  int  :  widziane  =  []  podczas gdy  x  nie  jest  widoczne  :  widziane  .  dołącz  (  x  )  x  =  iloczyn_cyfry  (  x  ,  b  )  return  len  (  widoczne  )  -  1 

Zobacz też

• Dynamika arytmetyczna
• Suma cyfr
• Cyfrowy korzeń
• Suma iloczynu

Literatura

•    Facet, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb (wyd. 3). Springer-Verlag . s. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2 . Zbl 1058.11001 .

Linki zewnętrzne

• na YouTube (21 marca 2019)