Lucas pseudoprime

Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby pseudopierwsze Fibonacciego to złożone liczby całkowite, które przechodzą pewne testy, które przechodzą wszystkie liczby pierwsze i bardzo niewiele liczb złożonych: w tym przypadku kryteria odnoszące się do jakiegoś ciągu Lucasa .

Baillie-Wagstaff-Lucas liczby pseudopierwsze

Baillie i Wagstaff definiują liczby pseudopierwsze Lucasa w następujący sposób: Biorąc pod uwagę liczby całkowite P i Q , gdzie P > 0 i U _re $)$ niech ( P , Q i V _k ( P , Q ) będą odpowiednimi ciągami Lucasa .

Niech n będzie dodatnią $niech$ symbolem Jacobiego . definiujemy

${\ Displaystyle \ delta (n) = n- \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawo).}$

Jeśli n jest liczbą pierwszą , która nie dzieli Q , to spełniony jest następujący warunek kongruencji:

${\ Displaystyle U _ {\ delta (n)} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}}.}$

 

 

 

 

()

Jeśli ta kongruencja nie zachodzi, to n nie jest liczbą pierwszą. Jeśli n jest złożone , to ta kongruencja zwykle nie zachodzi. To są kluczowe fakty, które sprawiają, że sekwencje Lucasa są przydatne w testowaniu pierwszości .

Kongruencja ( 1 ) reprezentuje jedną z dwóch kongruencji definiujących liczbę pseudopierwszą Frobeniusa . Stąd każda liczba pseudopierwsza Frobeniusa jest również liczbą pseudopierwszą Bailliego-Wagstaffa-Lucasa, ale odwrotność nie zawsze zachodzi.

Niektóre dobre odniesienia to rozdział 8 książki Bressouda i Wagona (z kodem Mathematica ), strony 142–152 książki Crandalla i Pomerance oraz strony 53–74 książki Ribenboima.

Lucasa prawdopodobne liczby pierwsze i pseudopierwsze

Prawdopodobna liczba pierwsza Lucasa dla danej pary ( P, Q ) to dowolna dodatnia liczba całkowita n , dla której powyższe równanie ( 1 ) jest prawdziwe (patrz strona 1398).

Liczba pseudopierwsza Lucasa dla danej pary ( P, Q ) jest dodatnią złożoną liczbą całkowitą n , dla której równanie ( 1 ) jest prawdziwe (patrz strona 1391).

Test prawdopodobieństwa liczby pierwszej Lucasa jest najbardziej przydatny, jeśli $.$ tak że symbol Jacobiego -1 (patrz strony 1401–1409) z, strona 1024 lub strony 266–269 z). Jest to szczególnie ważne w przypadku łączenia testu Lucasa z silnym testem liczb pseudopierwszych, takim jak test pierwszości Bailliego – PSW . Zazwyczaj implementacje będą wykorzystywać metodę wyboru parametrów, która zapewnia ten warunek (np. metoda Selfridge zalecana i opisana poniżej).

Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawo) = -1,}$ to równanie ( 1 ) staje się

${\ Displaystyle U_ {n + 1} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}}.}$

 

 

 

 

()

Jeśli kongruencja ( 2 ) jest fałszywa, stanowi to dowód, że n jest złożone.

Jeśli zgodność ( 2 ) jest prawdziwa, to n jest prawdopodobną liczbą pierwszą Lucasa. W tym przypadku albo n jest liczbą pierwszą, albo jest liczbą pseudopierwszą Lucasa. Jeśli zgodność ( 2 ) jest prawdziwa, to n prawdopodobnie będzie liczbą pierwszą (to uzasadnia określenie prawdopodobna liczba pierwsza), ale to nie dowodzi , że n jest liczbą pierwszą. Podobnie jak w przypadku każdego innego probabilistycznego testu pierwszości, jeśli wykonamy dodatkowe testy Lucasa z różnymi D , P i Q , to jeśli jeden z testów nie wykaże, że n jest złożone, zyskujemy większą pewność, że n jest liczbą pierwszą.

Przykłady: Jeśli P = 3, Q = −1 i D = 13, sekwencja U's to OEIS : A006190 : U ₀ = 0, U ₁ = 1, U ₂ = 3, U ₃ = 10 itd.

Najpierw niech n = $-1$ Symbol Jacobiego , więc δ ( n 20, U ₂₀ = 6616217487 = 19·348221973 i mamy

${\ Displaystyle U_ {20} = 6616217487 \ równoważnik 0 {\ pmod {19}}.}$

Dlatego 19 jest prawdopodobną liczbą pierwszą Lucasa dla tej pary ( P, Q ). W tym przypadku 19 jest liczbą pierwszą, więc nie jest to liczba pseudopierwsza Lucasa.

W następnym przykładzie niech $−1$ = Mamy = i

${\ Displaystyle U_ {120} \ równoważnik 0 {\ pmod {119}}.}$

liczbą pseudopierwszą Lucasa dla tej pary ( P, Q ). W rzeczywistości 119 jest najmniejszą liczbą pseudopierwszą dla P = 3, Q = −1.

Zobaczymy poniżej , że aby sprawdzić równanie ( 2 ) dla danego n , nie musimy obliczać wszystkich pierwszych n + 1 wyrazów ciągu U.

Niech Q = −1, najmniejsza liczba pseudopierwsza Lucasa do P = 1, 2, 3, ... to

323, 35, 119, 9, 9, 143, 25, 33, 9, 15, 123, 35, 9, 9, 15, 129, 51, 9, 33, 15, 21, 9, 9, 49, 15, 39, 9, 35, 49, 15, 9, 9, 33, 51, 15, 9, 35, 85, 39, 9, 9, 21, 25, 51, 9, 143, 33, 119, 9, 9, 51, 33, 95, 9, 15, 301, 25, 9, 9, 15, 49, 155, 9, 399, 15, 33, 9, 9, 49, 15, 119, 9, ...

Silne liczby pseudopierwsze Lucasa

δ ${\ Displaystyle \ delta (n) = n- \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawej)}$ postaci ${ \ displaystyle d \ cdot 2 ^ {s}}$ gdzie ${\ displaystyle d}$ jest nieparzyste.

Silna liczba pseudopierwsza Lucasa dla danej pary ( P, Q ) to nieparzysta liczba złożona n o NWD( n, D ) = 1, spełniająca jeden z warunków

${\ Displaystyle U_ {d} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}}}$

Lub

${\ Displaystyle V_ {d \ cdot 2 ^ {r}} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}}}$

dla niektórych 0 ≤ r < s ; patrz strona 1396 z. Silna liczba pseudopierwsza Lucasa jest również liczbą pseudopierwszą Lucasa (dla tej samej pary ( P , Q )), ale sytuacja odwrotna niekoniecznie jest prawdziwa. Dlatego mocny test jest bardziej rygorystycznym testem pierwszości niż równanie ( 1 ).

Istnieje nieskończenie wiele silnych liczb pseudopierwszych Lucasa, a zatem nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Lucasa. Twierdzenie $Niech$ w stanach: $\$ { $displaystyle Q}$ będą względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi, dla których dodatni, ale nie Wtedy istnieje dodatnia stała $w$ zależności od i $\ displaystyle P$$}$$większa$ że liczba silnych $pseudopierwszych$$duża$ niż do wystarczająco

Możemy ustawić Q $P$ −1 , a następnie $sekwencja$ są to P -Fibonacciego i sekwencja -Lucasa, liczby pseudopierwsze można nazwać liczbami pseudopierwszymi Lucasa podstawa P , na przykład najmniej silna liczba pseudopierwsza Lucasa z P = 1, 2, 3, ... to 4181, 169, 119, ...

Bardzo silna liczba pseudopierwsza Lucasa to silna liczba pseudopierwsza Lucasa dla zestawu parametrów ( P , Q ), gdzie Q = 1, spełniając jeden z warunków

${\ Displaystyle U_ {d} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}} {\ tekst {i}} V_ {d} \ równoważnik \ pm 2 {\pmod {n}}}$

Lub

${\ Displaystyle V _ {d \ cdot 2 ^ {r}} \ równoważnik 0 {\ pmod {n}}}$

dla niektórych ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik r <s-1}$ . Bardzo silna $liczba$ tej samej pary

Implementacja testu prawdopodobnych liczb pierwszych Lucasa

Przed przystąpieniem do testu prawdopodobieństwa liczby pierwszej zwykle sprawdza się, czy n , liczba, która ma być sprawdzona pod kątem pierwszości, jest nieparzysta, nie jest doskonałym kwadratem i nie jest podzielna przez żadną małą liczbę pierwszą mniejszą niż pewna dogodna granica. Idealne kwadraty są łatwe do wykrycia za pomocą metody Newtona dla pierwiastków kwadratowych.

Wybieramy sekwencję Lucasa, w której symbol Jacobiego ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawej) = -1}$ δ ( n ) = n + 1 .

Biorąc pod uwagę n , jedną z technik wyboru D jest użycie prób i błędów w celu znalezienia pierwszego D w sekwencji 5, -7, 9, -11, ... takiego, że $\ displaystyle \ lewo ( {\tfrac {D}{n}}\right)=-1}$ . Zauważ, że ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {k} {n}} \ prawo) \ lewo ({\ tfrac {-k} {n}} \ prawo) =-1}$ . (Jeśli D i n mają wspólny czynnik pierwszy, a następnie ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawej) = 0}$ ). Przy tej sekwencji D średnia liczba wartości D , które należy wypróbować, zanim napotkamy taką, której symbol Jacobiego to -1, wynosi około 1,79; patrz, str. 1416. Kiedy już mamy re , ustawiamy i ${\ Displaystyle P = 1}$ i ${\ Displaystyle Q = (1-D) / 4}$ . Warto sprawdzić, czy n nie ma wspólnych czynników pierwszych z P lub Q . Ta metoda wybierania D , P i Q została zaproponowana przez Johna Selfridge'a .

(To wyszukiwanie nigdy się nie powiedzie, jeśli n jest kwadratem i odwrotnie, jeśli się powiedzie, jest to dowód, że n nie jest kwadratem. W ten sposób można zaoszczędzić trochę czasu, opóźniając testowanie kwadratowości n do czasu, gdy wszystkie pierwsze kroki wyszukiwania zakończą się niepowodzeniem .)

Biorąc $pod$$obliczyć$ D , P i Q istnieją ${\ Displaystyle O (\ log _ {2} n)}$ które O kroki; patrz sekwencja Lucasa § Inne relacje . Zacząć,

${\ Displaystyle U_ {1} = 1}$

${\ Displaystyle V_ {1} = P = 1}$

Po pierwsze, możemy podwoić indeks dolny z ${$ 2 $\ displaystyle 2k} w jednym kroku$ używając relacji powtarzalności

${\ Displaystyle U_ {2k} = U_ {k} \ cdot V_ {k}}$

${ \ Displaystyle V_ {2k} = V_ {k} ^ {2} -2Q ^ {k} = {\ frac {V_ {k} ^ {2} + DU_ {k} ^ {2} {2}}}$ .

Następnie możemy zwiększyć indeks dolny o 1 za pomocą powtórzeń

${\ Displaystyle U_ {2k + 1} = (P \ cdot U_ {2k} + V_ {2k})/2}$

${\ Displaystyle V_ {2k + 1} = (D \ cdot U_ {2k} + P \ cdot V_ {2k}) / 2}$ .

${\ Displaystyle P \ cdot U_ {2k} + V_ {2k}}$ jest nieparzyste, zastąp je ${\ Displaystyle P \ cdot U_ {2k}+V_{2k}+n}$ ; to $równe,$ go teraz podzielić przez 2. Licznik w ten sam sposób. (Dodanie n nie zmienia wyniku modulo n .) Zauważ, że dla każdego wyrazu, który obliczamy w sekwencji U , obliczamy odpowiedni wyraz w sekwencji V. Kontynuując, obliczamy również te same, odpowiadające potęgi Q .

$każdym$$.$ zmniejszamy i moc $,$ n _ _

Używamy bitów rozwinięcia binarnego n , aby określić , które wyrazy w sekwencji U należy obliczyć. Na przykład, jeśli n +1 = 44 (= 101100 binarnie), to biorąc bity po kolei od lewej do prawej, otrzymujemy sekwencję indeksów do obliczenia: 1 ₂ = 1, 10 ₂ = 2, 100 ₂ = 4, 101 ₂ = 5, 1010 ₂ = 10, 1011 ₂ = 11, 10110 ₂ = 22, 101100 ₂ = 44. Zatem obliczamy U ₁ , U ₂ , U ₄ , U ₅ , U ₁₀ , U ₁₁ , U ₂₂ i U ₄₄ . Obliczamy również wyrazy o tych samych numerach w V , razem z Q ¹ , Q ² , Q ⁴ , Q ⁵ , Q ¹⁰ , Q ¹¹ , Q ²² i Q ⁴⁴ .

Pod koniec obliczeń będziemy mieli obliczone U _n+1 , V _n+1 i Q ⁿ⁺¹ , (mod n ). Następnie sprawdzamy zgodność ( 2 ) używając naszej znanej wartości U _n+1 .

Kiedy D , P i Q są wybrane jak opisano powyżej, pierwszych 10 liczb pseudopierwszych Lucasa to (patrz strona 1401 z ): 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179 i 10877 (sekwencja A217120 w OEIS ) _

Silne wersje testu Lucasa można zaimplementować w podobny sposób .

Kiedy D , P i Q są wybrane jak opisano powyżej, pierwszych 10 silnych liczb pseudopierwszych Lucasa to: 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309 i 58519 (sekwencja A217255 w OEIS )

Aby obliczyć listę wyjątkowo silnych liczb pseudopierwszych Lucasa, ustaw ${\ displaystyle Q = 1}$ . Następnie spróbuj P = 3, 4, 5, 6, ..., aż zostanie znaleziona wartość ${\ Displaystyle D = P ^ {2} -4Q}$ , aby symbol Jacobiego ${\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D} {n}} \ prawej) = -1}$ . Dzięki tej metodzie wybierania D , P i Q , pierwszych 10 bardzo silnych liczb pseudopierwszych Lucasa to 989, 3239, 5777, 10877, 27971, 29681, 30739, 31631, 39059 i 72389 (sekwencja A217719 w OEIS )

Sprawdzanie dodatkowych warunków kongruencji

Jeśli sprawdziliśmy, że kongruencja ( 2 ) jest prawdziwa, możemy sprawdzić dodatkowe warunki kongruencji, które prawie nie wiążą się z dodatkowymi kosztami obliczeniowymi. Jeśli n jest złożone, te dodatkowe warunki mogą pomóc odkryć ten fakt.

Jeśli n jest nieparzystą liczbą pierwszą i , to mamy (patrz równanie 2 na stronie 1392) ( re $Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D}} \ prawej) = -1}$ z ):

${\ Displaystyle V_ {n + 1} \ równoważnik 2Q {\ pmod {n}}.}$

 

 

 

 

()

Chociaż ten warunek kongruencji z definicji nie jest częścią testu prawdopodobnych liczb pierwszych Lucasa, sprawdzenie tego warunku jest prawie dowolne, ponieważ, jak wspomniano powyżej, wartość V n+ 1 _została obliczona w procesie obliczania U _n+1 .

Jeśli którakolwiek z kongruencji ( 2 ) lub ( 3 ) jest fałszywa, stanowi to dowód, że n nie jest liczbą pierwszą. Jeśli obie te kongruencje są prawdziwe, to jest jeszcze bardziej prawdopodobne, że n jest liczbą pierwszą, niż gdybyśmy sprawdzili tylko kongruencję ( 2 ).

Jeśli metoda Selfridge'a (powyżej) do wyboru D , P i Q zdarzyło się ustawić Q = -1, to możemy dostosować P i Q tak, że re i ${\ displaystyle \ lewo ({\ tfrac {D} n}}\right)}$ pozostają niezmienione, a P = Q = 5 (patrz sekwencja Lucasa - relacje algebraiczne ). Jeśli użyjemy tej rozszerzonej metody do wyboru P i Q , to 913 = 11·83 jest tylko złożony mniejszy niż 10 ⁸ , dla którego kongruencja ( 3 ) jest prawdziwa (patrz strona 1409 i tabela 6 z;). Bardziej szczegółowe obliczenia pokazują, że przy tej metodzie wybierania D , P i Q istnieje tylko pięć nieparzystych liczb złożonych mniejszych niż 10 ¹⁵ , dla których kongruencja ( 3 ) jest prawdziwa.

Jeśli , $to$ można zaimplementować kolejny warunek kongruencji, który wymaga bardzo niewielkiej

$\ Displaystyle Q}$ , że oblicza ${\ Displaystyle U_ {n$$podczas$ obliczania i możemy łatwo zapisać $}$ moc , a mianowicie ${\ Displaystyle Q ^ {(n + 1) / 2}}$ .

Jeśli n jest liczbą pierwszą, to według kryterium Eulera ,

${\ Displaystyle Q ^ {(n-1)/2} \ równoważnik \ lewo ({\ tfrac {Q} {n}} \ prawo) { \pmod {n}}}$ .

$liczbą pierwszą$ Tutaj jest symbolem Legendre'a ; jeśli n jest , to jest to samo, co symbol

Dlatego, jeśli n jest liczbą pierwszą, musimy mieć,

${\ Displaystyle Q ^ {(n + 1)/2} \ równoważnik Q \ cdot Q ^ {(n-1)/2} \ równoważnik Q \ cdot \ lewo ({\ tfrac {Q} {n}} \ prawo ){\pmod {n}}.}$

 

 

 

 

()

Symbol Jacobiego po prawej stronie jest łatwy do obliczenia, więc ta zgodność jest łatwa do sprawdzenia. Jeśli ta kongruencja nie zachodzi, to n nie może być liczbą pierwszą. Pod warunkiem, że GCD( n, Q ) = 1, to testowanie kongruencji ( 4 ) jest równoważne z rozszerzeniem naszego testu Lucasa o „bazowy Q” test pierwszości Solovaya-Strassena .

Dodatkowe warunki kongruencji, które muszą być spełnione, jeśli n jest liczbą pierwszą, opisano w rozdziale 6. Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony, to udowodniliśmy, że n nie jest liczbą pierwszą.

Porównanie z testem pierwszości Millera – Rabina

k zastosowań testu pierwszości Millera-Rabina deklaruje, że złożony n jest prawdopodobnie liczbą pierwszą z prawdopodobieństwem co najwyżej (1/4) ^k .

Istnieje podobne oszacowanie prawdopodobieństwa dla silnego testu prawdopodobieństwa pierwszego Lucasa.

Oprócz dwóch trywialnych wyjątków (patrz poniżej), ułamek par ( P , Q ) (modulo n ), które deklarują, że złożony n jest prawdopodobnie liczbą pierwszą, wynosi co najwyżej (4/15).

Dlatego k zastosowań mocnego testu Lucasa zadeklarowałoby, że złożony n jest prawdopodobnie liczbą pierwszą z prawdopodobieństwem co najwyżej (4/15) ^k .

Są dwa trywialne wyjątki. Jeden to n = 9. Drugi to sytuacja, gdy n = p ( p +2) jest iloczynem dwóch bliźniaczych liczb pierwszych . Takie n jest łatwe do rozłożenia na czynniki, ponieważ w tym przypadku n +1 = ( p +1) ² jest doskonałym kwadratem. Można szybko wykryć idealne kwadraty za pomocą metody Newtona dla pierwiastków kwadratowych.

Łącząc test Lucasa pseudoprime z testem pierwszości Fermata , powiedzmy, o podstawie 2, można uzyskać bardzo mocne testy probabilistyczne dla pierwszości, takie jak test pierwszości Baillie-PSW .

Liczby pseudopierwsze Fibonacciego

Gdy P = 1 i Q = −1, sekwencja U _n ( P , Q ) reprezentuje liczby Fibonacciego.

Liczba pseudopierwsza Fibonacciego jest często definiowana jako liczba złożona n niepodzielna przez 5, dla której zachodzi zgodność ( 1 ) z P = 1 i Q = −1 (ale n jest ). Zgodnie z tą definicją liczby pseudopierwsze Fibonacciego tworzą ciąg:

323, 377, 1891, 3827, 4181, 5777, 6601, 6721, 8149, 10877, ... (sekwencja A081264 w OEIS ).

Poniższe odniesienia Andersona i Jacobsena wykorzystują tę definicję.

Jeśli n jest przystające do 2 lub 3 modulo 5, to Bressoud, Crandall i Pomerance zwracają uwagę, że rzadko zdarza się, aby liczba pseudopierwsza Fibonacciego była również liczbą pseudopierwszą Fermata o podstawie 2. Jednakże , gdy n jest przystające do 1 lub 4 modulo 5, jest odwrotnie, przy czym ponad 12% liczb pseudopierwszych Fibonacciego poniżej 10 ¹¹ to również liczby pseudopierwsze Fermata o podstawie 2.

Jeśli n jest liczbą pierwszą i NWD( n , Q ) = 1, to również mamy

${\ Displaystyle V_ {n} (P, Q) \ równoważnik P {\ pmod {n}}.}$

 

 

 

 

()

Prowadzi to do alternatywnej definicji Fibonacciego pseudoprime:

liczba pseudopierwsza Fibonacciego jest liczbą złożoną n , dla której zachodzi kongruencja ( 5 ) z P = 1 i Q = −1.

Ta definicja prowadzi liczby pseudopierwsze Fibonacciego do postaci ciągu:

705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721, 10877, 13201, 15251, ... (sekwencja A005845 w OEIS ),

które są również określane jako liczby pseudopierwsze Bruckmana-Lucasa . Hoggatt i Bicknell badali właściwości tych liczb pseudopierwszych w 1974 roku. Singmaster obliczył te liczby pseudopierwsze do 100000. Jacobsen wymienia wszystkie 111443 takich liczb pseudopierwszych mniejszych niż 10 ¹³ .

Wykazano, że nie ma parzystych liczb pseudopierwszych Fibonacciego określonych równaniem (5). Jednak nawet liczby pseudopierwsze Fibonacciego istnieją (sekwencja A141137 w OEIS ) zgodnie z pierwszą definicją podaną przez ( 1 ).

Silna liczba pseudopierwsza Fibonacciego to liczba złożona n , dla której zgodność ( 5 ) zachodzi dla Q = −1 i wszystkich P . Wynika z tego, że nieparzysta liczba całkowita złożona n jest silną liczbą pseudopierwszą Fibonacciego wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. n jest liczbą Carmichaela
2. 2( p + 1) | ( n - 1) lub 2 ( p + 1) | ( n - p ) dla każdej liczby pierwszej p dzielącej n .

Najmniejszy przykład silnej liczby pseudopierwszej Fibonacciego to 443372888629441 = 17·31·41·43·89·97·167·331.

Pella liczby pseudopierwsze

Liczbę pseudopierwszą Pell można zdefiniować jako liczbę złożoną n , dla której powyższe równanie ( 1 ) jest prawdziwe przy P = 2 i Q = −1; sekwencja Un _Pell jest zatem sekwencją . Pierwsze liczby pseudopierwsze to zatem 35, 169, 385, 779, 899, 961, 1121, 1189, 2419, ...

Różni się to od definicji w OEIS : A099011 , którą można zapisać jako:

${\ Displaystyle {\ tekst {}} U_ {n} \ równoważnik \ lewo ({\ tfrac {2} {n}} \ prawej) {\ pmod {n}}}$

gdzie ( P , Q ) = (2, −1) ponownie definiując U _n jako sekwencję Pell . Pierwsze liczby pseudopierwsze to zatem 169, 385, 741, 961, 1121, 2001, 3827, 4879, 5719, 6215 ...

Trzecia definicja wykorzystuje równanie (5) z ( P , Q ) = (2, −1), co prowadzi do liczb pseudopierwszych 169, 385, 961, 1105, 1121, 3827, 4901, 6265, 6441, 6601, 7107, 7801, 8119, ...

Linki zewnętrzne

• Anderson, Peter G. Fibonacci Pseudoprimes, ich czynniki i punkty wejścia.
• Anderson, Peter G. Fibonacci Pseudoprimes poniżej 2 217 967 487 i ich czynniki.
• Jacobsen, Dana Pseudoprime Statistics, Tables, and Data (dane dla liczb pseudopierwszych Lucasa, Stronga Lucasa, AES Lucas, ES Lucas liczb pseudopierwszych poniżej 10 ¹⁴ ; liczb pseudopierwszych Fibonacciego i Pella poniżej 10 ¹² )
• Weisstein, Eric W. „Pseudoprime Fibonacciego” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Lucas Pseudoprime” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Silny Lucas Pseudoprime” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Bardzo silny Lucas Pseudoprime” . MathWorld .