liczba Jacobsthala

W matematyce liczby Jacobsthala są ciągiem liczb całkowitych nazwanym na cześć niemieckiego matematyka Ernsta Jacobsthala . Podobnie jak powiązane liczby Fibonacciego , $1$ specyficznym typem Lucasa dla której i Q = −2 - są zdefiniowane przez podobna relacja rekurencyjna : mówiąc prościej, sekwencja zaczyna się od 0 i 1, a następnie każda następna liczba jest znajdowana przez dodanie liczby przed nią do dwukrotności poprzedniej liczby. Pierwsze liczby Jacobsthal to:

0 , 1 , 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, … (sekwencja A0 01045 w OEIS )

Liczba pierwsza Jacobsthala to liczba Jacobsthala , która jest również liczbą pierwszą . Pierwsze liczby pierwsze Jacobsthala to:

3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 8451004001521529343331135470251, 56713727820156410577229101238628035243, … (sekwencja A049883 w OEIS )

Liczby Jacobsthala

Liczby Jacobsthal są określone przez relację powtarzalności:

${\ Displaystyle J_ {n} = {\ rozpocząć {przypadki} 0 & {\ mbox {jeśli}} n = 0; \\ 1 & {\ mbox {jeśli} }n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{przypadki}}}$

Następna liczba Jacobsthala jest również dana wzorem rekurencji

${\ Displaystyle J_ {n + 1} = 2J_ {n} + (-1) ^ {n},}$

lub przez

${\ Displaystyle J_ {n + 1} = 2 ^ {n} -J_ {n}.}$

Drugi wzór rekurencji powyżej jest również spełniony przez potęgi 2 .

Liczbę Jacobsthal w określonym punkcie sekwencji można obliczyć bezpośrednio za pomocą równania w postaci zamkniętej:

${\ Displaystyle J_ {n} = {\ Frac {2 ^ {n} - (-1) ^ {n}} {3}}.}$

Funkcja generująca dla liczb Jacobsthal to

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {(1 + x) (1-2x)}}.}$

Suma odwrotności liczb Jacobsthala wynosi około 2,7186, nieco więcej niż e .

Liczby Jacobsthal można rozszerzyć na indeksy ujemne za pomocą relacji powtarzalności lub jawnej formuły, dając

${\ Displaystyle J_ {-n} = (-1) ^ {n + 1} J_ {n}/2 ^ {n}} ($ patrz OEIS : A077925 )

Zachodzi następująca tożsamość

${\ Displaystyle 2 ^ {n} (J_ {- n} + J_ {n}) = 3J_ {n} ^ {2}}$ (patrz OEIS : A139818 )

Liczby Jacobsthala-Lucasa

Liczby Jacobsthala-Lucasa reprezentują komplementarną sekwencję Lucasa ${\ Displaystyle V_ {n} (1, -2)}$ . Spełniają tę samą relację powtarzalności, co liczby Jacobsthal, ale mają różne wartości początkowe:

${\ Displaystyle j_ {n} = {\ rozpocząć {przypadki} 2 & {\ mbox {jeśli}} n = 0; \\ 1 & {\ mbox {jeśli} }n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{przypadki}}}$

Następująca liczba Jacobsthala – Lucasa również spełnia:

${\ Displaystyle j_ {n + 1} = 2j_ {n} -3 (-1) ^ {n}. \,}$

Liczbę Jacobsthala-Lucasa w określonym punkcie sekwencji można obliczyć bezpośrednio za pomocą równania w postaci zamkniętej:

${\ Displaystyle j_ {n} = 2 ^ {n} + (-1) ^ {n}. \,}$

Pierwsze numery Jacobsthala – Lucasa to:

2 , 1 , 5 , 7 , 17 , 31 , 65 , 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537 , 131071, 262145, 524287 , 104 8577, … (sekwencja A014551 w OEIS ) .

Liczby podłużne Jacobsthala

Pierwsze liczby Jacobsthal Oblong to: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311, … (sekwencja A084175 w OEIS )

${\ Displaystyle Jo_ {n} = J_ {n} J_ {n + 1}}$