Przyjazne numery

„Polubowny” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z definicją, zobacz Wikisłownik: polubowny .

Nie mylić z numerami przyjaznymi .

Wykazanie za pomocą prętów polubowności pary liczb (220 284)

Liczby polubowne to dwie różne liczby naturalne powiązane ze sobą w taki sposób, że suma właściwych dzielników każdej z nich jest równa drugiej liczbie. Oznacza to, że s ( a )= b i s ( b ) = a , gdzie s ( n ) = σ ( n )- n jest równe sumie dodatnich dzielników n z wyjątkiem samego n (zobacz także funkcję dzielnika ).

Najmniejsza para liczb polubownych to ( 220 , 284 ). Są polubowni, ponieważ właściwymi dzielnikami liczby 220 są 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, których suma wynosi 284; a właściwymi dzielnikami liczby 284 są 1, 2, 4, 71 i 142, których suma wynosi 220. (Właściwym dzielnikiem liczby jest dodatni czynnik tej liczby inny niż sama liczba. Na przykład właściwe dzielniki z 6 to 1, 2 i 3.)

Pierwsze dziesięć par polubownych to: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) i (66928, 66992). (sekwencja A259180 w OEIS ). (Zobacz także OEIS : A002025 i OEIS : A002046 ) Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb polubownych.

Para liczb polubownych stanowi podwielokrotny ciąg okresu 2. Pokrewnym pojęciem jest liczba doskonała , czyli liczba równa sumie własnych dzielników właściwych , innymi słowy liczba, która tworzy podwielokrotny ciąg okresu 1 Liczby należące do sekwencji podwielokrotności z okresem większym niż 2 są znane jako liczby towarzyskie .

Historia

Nierozwiązany problem z matematyki :

Czy istnieje nieskończenie wiele liczb polubownych?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Liczby polubowne były znane pitagorejczykom , którzy przypisywali im wiele mistycznych właściwości. Ogólny wzór, za pomocą którego można było wyprowadzić niektóre z tych liczb, został wynaleziony około 850 roku przez irackiego matematyka Thābita ibn Qurrę (826–901). Inni matematycy arabscy , którzy badali liczby polubowne, to al-Majriti (zm. 1007), al-Baghdadi (980–1037) i al-Fārisī (1260–1320). Irański matematyk Muhammad Baqir Yazdi (XVI wiek) odkrył parę (9363584, 9437056), chociaż często przypisywano to Kartezjuszowi . Wiele prac matematyków Wschodu w tej dziedzinie zostało zapomnianych.

Formuła Thābita ibn Qurry została ponownie odkryta przez Fermata (1601–1665) i Kartezjusza (1596–1650), którym jest czasami przypisywana, a rozszerzona przez Eulera (1707–1783). Został on dalej rozszerzony przez Borho w 1972 roku. Fermat i Kartezjusz również ponownie odkryli pary liczb polubownych znanych matematykom arabskim. Euler odkrył także dziesiątki nowych par. Drugą najmniejszą parę (1184, 1210) odkrył w 1867 roku 16-letni B. Nicolò I. Paganini (nie mylić z kompozytorem i skrzypkiem), przeoczony przez wcześniejszych matematyków.

Pierwsze dziesięć przyjaznych par

#	M	N
1	220	284
2	1184	1210
3	2620	2924
4	5020	5564
5	6232	6368
6	10744	10856
7	12285	14595
8	17296	18416
9	63020	76084
10	66 928	66 992

Do 1946 roku znanych było 390 par, ale pojawienie się komputerów umożliwiło odkrycie wielu tysięcy. Przeprowadzono wyczerpujące wyszukiwania, aby znaleźć wszystkie pary mniejsze niż określona granica, granica ta została rozszerzona z 10 ⁸ w 1970 r. Do 10 ¹⁰ w 1986 r., 10 ¹¹ w 1993 r., 10 ¹⁷ w 2015 r. I do 10 ¹⁸ w 2016 r.

Na dzień 1 lutego 2023 r. Znanych jest ponad 11 227 816 808 zaprzyjaźnionych par.

Zasady generacji

Chociaż te zasady generują pewne pary liczb polubownych, znanych jest wiele innych par, więc zasady te w żadnym wypadku nie są wyczerpujące.

W szczególności dwie poniższe reguły dają tylko parzyste pary, więc nie są interesujące dla otwartego problemu znalezienia par polubownych względnie pierwszych do 210 = 2·3·5·7, podczas gdy ponad 1000 par względnie pierwszych do 30 = 2·3 ·5 jest znanych [García, Pedersen i te Riele (2003), Sándor i Crstici (2004)].

Thābit ibn Qurra twierdzenie

Thābit ibn Qurra to metoda odkrywania liczb polubownych, wynaleziona w IX wieku przez arabskiego matematyka Thābita ibn Qurra .

Stwierdza, że ​​jeśli

p = 3×2 ^{n - 1} - 1 ,

q = 3×2 ⁿ - 1 ,

r = 9×2 ^{2 n - 1} - 1 ,

gdzie n > 1 jest liczbą całkowitą , a p , q i r są liczbami pierwszymi , to 2 ⁿ × p × q i 2 ⁿ × r są parą liczb polubownych. Ten wzór daje pary (220, 284) dla n = 2 , (17296, 18416) dla n = 4 i (9363584, 9437056) dla n = 7 , ale nie są znane żadne inne takie pary. Liczby postaci 3×2 ⁿ − 1 są znane jako liczby Thabit . Aby formuła Ibn Qurry dała polubowną parę, dwie kolejne liczby Thabit muszą być pierwsze; to poważnie ogranicza możliwe wartości n .

Aby ustalić twierdzenie, Thâbit ibn Qurra udowodnił dziewięć lematów podzielonych na dwie grupy. Pierwsze trzy lematy dotyczą wyznaczania podwielokrotnych części naturalnej liczby całkowitej . Druga grupa lematów dotyczy bardziej szczegółowo tworzenia liczb doskonałych, obfitych i niedostatecznych.

Reguła Eulera

Reguła Eulera jest uogólnieniem twierdzenia Thâbit ibn Qurra. Stwierdza, że ​​jeśli

p = (2 ^{n - m} + 1)×2 ^m - 1 ,

q = (2 ^{n - m} + 1)×2 ⁿ - 1 ,

r = (2 ^{n - m} + 1) ² × 2 ^{m + n} - 1 ,

gdzie n > m > 0 to liczby całkowite , a p , q i r to liczby pierwsze , to 2 ⁿ × p × q i 2 ⁿ × r to para liczb polubownych. Twierdzenie Thābita ibn Qurry odpowiada przypadkowi m = n - 1 . Reguła Eulera tworzy dodatkowe przyjazne pary dla ( m , n ) = (1,8), (29,40) bez innych znanych. Euler (1747 i 1750) w sumie znalazł 58 nowych par, zwiększając liczbę znanych wówczas par do 61.

Regularne pary

Niech ( m , n ) będzie parą liczb polubownych , gdzie m < n , i napisz m = gM i n = gN , gdzie g jest największym wspólnym dzielnikiem m i n . Jeśli M i N są względnie pierwsze do g i wolne od kwadratów, to mówi się, że para ( m , n ) jest regularny (sekwencja A215491 w OEIS ); w przeciwnym razie nazywa się to nieregularnym lub egzotycznym . Jeśli ( m , n ) jest regularne, a M i N mają odpowiednio i i j czynniki pierwsze, to mówi się, że ( m , n ) jest typu ( i , j ) .

Na przykład dla ( m , n ) = (220, 284) największym wspólnym dzielnikiem jest 4 , więc M = 55 i N = 71 . Dlatego (220, 284) jest regularny typu (2, 1) .

Bliźniacze przyjazne pary

Polubowna para ( m , n ) jest bliźniacza, jeśli nie ma liczb całkowitych między m i n należących do żadnej innej polubownej pary (sekwencja A273259 w OEIS ).

Inne wyniki

W każdym znanym przypadku liczby w parze są albo parzyste , albo obie nieparzyste. Nie wiadomo, czy istnieje para parzysto-nieparzysta liczb polubownych, ale jeśli tak, to liczba parzysta musi być liczbą kwadratową lub podwójną jedynką, a liczba nieparzysta musi być liczbą kwadratową. Istnieją jednak liczby polubowne, w których dwaj członkowie mają różne najmniejsze czynniki pierwsze: znanych jest siedem takich par. Ponadto każda znana para ma co najmniej jeden wspólny czynnik pierwszy . Nie wiadomo, czy istnieje para względnie pierwszych , chociaż jeśli tak, to iloczyn z dwóch musi być większa niż 10 ⁶⁷ . Ponadto pary liczb względnie pierwszych polubownych nie można wygenerować za pomocą wzoru Thabita (powyżej) ani żadnego podobnego wzoru.

W 1955 roku Paul Erdős wykazał, że gęstość liczb polubownych w stosunku do dodatnich liczb całkowitych wynosi 0.

W 1968 roku Martin Gardner zauważył, że większość znanych w jego czasach par nawet przyjaznych ma sumy podzielne przez 9 i uzyskano regułę charakteryzowania wyjątków (sekwencja A291550 w OEIS ).

Zgodnie z hipotezą sumy par polubownych, gdy liczba liczb polubownych zbliża się do nieskończoności, odsetek sum par polubownych podzielnych przez dziesięć zbliża się do 100% (sekwencja A291422 w OEIS ). Chociaż wszystkie zaprzyjaźnione pary do 10 000 są parami parzystymi, odsetek nieparzystych par polubownych stale rośnie w kierunku wyższych liczb i prawdopodobnie jest ich więcej niż par parzystych ( A360054 w OEIS ).

Istnieją polubowne pary gaussowskie.

Uogólnienia

Polubowne krotki

liczby polubowne ${\ Displaystyle (m, n)}$ spełniają ${\ Displaystyle \ sigma (m) -m = n}$ i ${\ Displaystyle \sigma (n)-n=m}$ , które można zapisać razem jako ${\ Displaystyle \ sigma (m) = \ sigma (n) = m + n}$ . Można to uogólnić na większe krotki, powiedzmy, gdzie wymagamy ${\ Displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k})}$

${\ Displaystyle \ sigma (n_ {1}) = \ sigma (n_ {2}) =\kropki =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\kropki +n_{k}}$

Na przykład (1980, 2016, 2556) to polubowna trójka (sekwencja A125490 w OEIS ), a (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) to polubowna czwórka (sekwencja A036471 w OEIS ).

Amicable multisets są definiowane analogicznie i uogólniają to nieco dalej (sekwencja A259307 w OEIS ).

Numery towarzyskie

Główny artykuł: Numer towarzyski

Liczby towarzyskie to liczby w cyklicznych listach liczb (o długości większej niż 2), gdzie każda liczba jest sumą właściwych dzielników poprzedniej liczby. Na przykład ${\ Displaystyle 1264460 \ mapsto 1547860 \ mapsto 1727636 \ mapsto 1305184 \ mapsto 1264460 \ mapsto \dots }$ to liczby towarzyskie rzędu 4.

Wyszukiwanie numerów towarzyskich

Sekwencję podwielokrotności można przedstawić jako skierowany wykres , $n}$ danej liczby całkowitej, gdzie $displaystyle$$, s {\ displaystyle s (k)}$ oznacza sumę właściwych dzielników ${\ displaystyle k}$ . Cykle w reprezentują numery towarzyskie ${\ Displaystyle G_ {n, s}}$ w przedziale ${\ Displaystyle [1, n]}$ . Dwa szczególne przypadki to pętle reprezentujące liczby doskonałe i cykle o długości dwa reprezentujące polubowne pary .

Odniesienia w kulturze popularnej

• Liczby polubowne pojawiają się w powieści The Housekeeper and the Professor autorstwa Yōko Ogawy oraz w opartym na niej japońskim filmie .
• Zbiór opowiadań Paula Austera zatytułowany True Tales of American Life zawiera opowiadanie („Matematyczny afrodyzjak” Alexa Galta), w którym ważną rolę odgrywają przyjazne liczby.
• Polubowne numery są krótko opisywane w powieści The Stranger House autorstwa Reginalda Hilla .
• Liczby polubowne są wspomniane we francuskiej powieści The Parrot's Theorem autorstwa Denisa Guedja .
• Liczby polubowne są wymienione w JRPG Persona 4 Golden .
• Polubowne liczby pojawiają się w powieści wizualnej Rewrite .
• Numery polubowne (220, 284) są wymienione w 13 odcinku koreańskiego dramatu Andante z 2017 roku .
• Polubowne liczby pojawiają się w greckim filmie The Other Me (film z 2016 r.) .
• Liczby polubowne są omówione w książce Briana Cleggsa Czy liczby są prawdziwe?
• Liczby polubowne są wspomniane w powieści Apeirogon z 2020 roku autorstwa Columa McCanna .

Zobacz też

• Liczby zaręczone (liczby quasi-polubowne)
• Polubowna trójka - trzycyfrowa odmiana liczb polubownych.

Notatki

• Ten artykuł zawiera tekst z publikacji znajdującej się obecnie w domenie publicznej : Chisholm, Hugh, wyd. (1911). „ Polubowne liczby ”. Encyclopædia Britannica (wyd. 11). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
•    Sandor, Jozsef; Crstici, Borysław (2004). Podręcznik teorii liczb II . Dordrecht: Kluwer Academic. s. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4 . Zbl 1079.11001 .
• Wells, D. (1987). Pingwinski słownik ciekawych i interesujących liczb . Londyn: Grupa Pingwinów . s. 145–147.
• Weisstein, Eric W. „Polubowna para” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Reguła Thâbit ibn Kurrah” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Reguła Eulera” . MathWorld .

Linki zewnętrzne

• M. Garcia; JM Pedersena; HJJ te Riele (2003-07-31). „Polubowne pary, ankieta” (PDF) . Raport MAS-R0307 .
• Grim, James. „220 i 284 (numery polubowne)” . Liczby . Brady'ego Harana . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2017-07-16 . Źródło 2013-04-02 .
• Grim, James. „MegaFavNumbers - hipoteza parzystych liczb polubownych” . YouTube . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2021-11-23 . Źródło 2020-06-09 .
• Koutsoukou-Argyraki, Angeliki (4 sierpnia 2020). „Liczby polubowne (rozwój formalnego dowodu w Isabelle / HOL, Archive of Formal Proofs)” .