Twierdzenie Nivena
W matematyce twierdzenie Nivena , nazwane na cześć Ivana Nivena , stwierdza , że jedynymi wymiernymi wartościami θ w przedziale 0° ≤ θ ≤ 90°, dla których sinus stopni θ jest również liczbą wymierną, to:
![{\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778d2cd694809f428b1a92aac1ee3a3dfd52d817)
W radianach wymagałoby się, aby 0 ≤ x ≤ π /2, aby x / π było wymierne, a grzech x był wymierny. Wniosek jest więc taki, że jedynymi takimi wartościami są sin 0 = 0, sin π /6 = 1/2 i sin π /2 = 1.
Twierdzenie pojawia się jako wniosek 3.12 w książce Nivena o liczbach niewymiernych .
Twierdzenie rozciąga się również na inne funkcje trygonometryczne . Dla wymiernych wartości θ jedynymi wymiernymi wartościami sinusa lub cosinusa są 0, ±1/2 i ±1; jedynymi wymiernymi wartościami siecznej lub cosecansa są ±1 i ±2; a jedynymi wymiernymi wartościami stycznej lub cotangensa są 0 i ± 1.
Zobacz też
- Trójki pitagorejskie tworzą trójkąty prostokątne, w których funkcje trygonometryczne zawsze przyjmują wartości wymierne, chociaż kąty ostre nie są racjonalne
- Funkcje trygonometryczne
- Liczba trygonometryczna
Dalsza lektura
- Olmsted, JMH (1945). „Wymierne wartości funkcji trygonometrycznych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540 .
- Lehmer, Derik H. (1933). „Uwaga na temat liczb algebraicznych trygonometrycznych”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 40 (3): 165–166. doi : 10.2307/2301023 . JSTOR 2301023 .
- Jahnel, Jörg (2010). „Kiedy (co) sinus kąta wymiernego jest równy liczbie wymiernej?”. arXiv : 1006,2938 [ matematyka.HO ].
Linki zewnętrzne
- Weisstein, Eric W. „Twierdzenie Nivena” . MathWorld .
- Twierdzenie Nivena w ProofWiki