Przypuszczenie Firoozbakhta

Funkcja luki pierwszej

W teorii liczb hipoteza Firoozbakhta (lub hipoteza Firoozbakhta) jest przypuszczeniem dotyczącym rozkładu liczb pierwszych . Jej nazwa pochodzi od irańskiego matematyka Farideha Firoozbakhta , który jako pierwszy stwierdził to w 1982 roku.

Przypuszczenie stwierdza, że ​​(gdzie jest n-tą liczbą pierwszą $) jest ściśle malejącą funkcją$ n , tj. ${\ displaystyle p_ {n} ^ {1/n$ ,

${\ Displaystyle {\ sqrt [{n + 1}] {p_ {n + 1}} < {\ sqrt [{n}] {p_ {n}}}\qquad {\text{dla wszystkich}}n\geq 1.}$

Równoważnie:

${\ Displaystyle p_ {n + 1}< p_ {n} ^ {1 + {\ Frac {1} {n}}} \ qquad {\ tekst{ dla wszystkich }}n\geq 1,}$

patrz OEIS : A182134 , OEIS : A246782 .

Korzystając z tabeli maksymalnych luk , Farideh Firoozbakht zweryfikowała swoje przypuszczenie do 4,444 × 10 ¹² . Teraz, gdy mamy obszerniejsze tabele maksymalnych luk, hipoteza została zweryfikowana dla wszystkich liczb pierwszych poniżej 2 ⁶⁴ ≈ 1,84 × 10 ¹⁹ .

Gdyby przypuszczenie było prawdziwe, to funkcja luki pierwszej spełniałaby: ${\ Displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$

${\ Displaystyle g_ {n}< (\ log p_ {n}) ^ {2} - \ log p_ {n} \ qquad {\text{dla wszystkich}}n>4.}$

Ponadto:

${\ Displaystyle g_ {n}< (\ log p_ {n}) ^ {2} - \ log p_ {n} -1\qquad {\text{dla wszystkich }}n>9,}$

patrz także OEIS : A111943 . Jest to jedna z najsilniejszych górnych granic przewidywanych dla głównych luk, nawet nieco silniejsza niż przypuszczenia Craméra i Shanksa . Implikuje silną formę przypuszczenia Craméra i dlatego jest niespójny z heurystykami Granville'a i Pintza oraz Maiera , które sugerują, że

${\ Displaystyle g_ {n}> {\ Frac {2- \ varepsilon}} {e ^ {\ gamma}} }(\log p_{n})^{2}\około 1,1229(\log p_{n})^{2},}$

występuje nieskończenie $często$ dla $.$ gdzie oznacza stałą

dwa powiązane przypuszczenia (patrz komentarze OEIS : A182514 ).

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ log (p_ {n + 1})} {\ log (p_ {n}) }}\right)^{n}<e,}$

który jest słabszy i

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {p_ {n + 1}} {p_ {n}}} \ prawej) ^ {n}<n\log(n)\qquad {\text{dla wszystkich}}n>5,}$

co jest silniejsze.

Zobacz też

• Twierdzenie o liczbach pierwszych
• Przypuszczenie Andricy
• Hipoteza Legendre'a
• przypuszczenie Oppermanna
• Przypuszczenie Craméra

Notatki

•   Ribenboim, Paulo (2004). Mała księga większych liczb pierwszych wydanie drugie . Springer-Verlag. ISBN 0-387-20169-6 .
•   Riesel, Hans (1985). Liczby pierwsze i komputerowe metody faktoryzacji, wydanie drugie . Birkhausera. ISBN 3-7643-3291-3 .