przypuszczenie Dicksona

W teorii liczb , gałęzi matematyki, przypuszczenie Dicksona jest przypuszczeniem sformułowanym przez Dicksona ( 1904 ), że dla skończonego zbioru form liniowych $a 1 + b 1 n$ , $a 2 + b 2 n$ , ..., $a k + b k n$ gdzie $b i \geq 1$ , istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich $n$ , dla których wszystkie są pierwsze , chyba że istnieje warunek kongruencji temu uniemożliwiający ( Ribenboim 1996 , 6.I). Przypadek k = 1 to twierdzenie Dirichleta .

Dwa inne przypadki szczególne to dobrze znane przypuszczenia: istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych ( n i 2 + n to liczby pierwsze) oraz istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Sophie Germain ( n i 1 + 2 n to liczby pierwsze).

Przypuszczenie Dicksona jest dalej rozszerzane przez hipotezę Schinzela H .

Uogólniona hipoteza Dicksona

Biorąc pod uwagę n wielomianów o dodatnich stopniach i współczynnikach całkowitych ( n może być dowolną liczbą naturalną), z których każdy spełnia wszystkie trzy warunki hipotezy Bunyakowskiego , a dla dowolnej liczby pierwszej p istnieje liczba całkowita x taka, że wartości wszystkich n wielomianów w punkcie x nie są podzielna przez p , to istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych x takich, że wszystkie wartości tych n wielomianów w punkcie x są pierwsze. Na przykład, jeśli przypuszczenie jest prawdziwe, to istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych x takich, że x ² + 1, 3 x - 1 i x ² + x + 41 są wszystkie liczbami pierwszymi. Kiedy wszystkie wielomiany mają stopień 1, jest to oryginalna hipoteza Dicksona.

To bardziej ogólne przypuszczenie jest takie samo, jak uogólniona hipoteza Bunyakovsky'ego .

Zobacz też

Dickson, LE (1904), „Nowe rozszerzenie twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych” , Messenger of Mathematics , 33 : 155–161
Ribenboim, Paulo (1996), Nowa księga rekordów liczb pierwszych , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , MR 1377060