Przypuszczenie Polignaca

W teorii liczb hipoteza Polignaca została wysunięta przez Alphonse'a de Polignac w 1849 roku i stwierdza:

Dla dowolnej dodatniej liczby parzystej n istnieje nieskończenie wiele przerw pierwszych o rozmiarze n . Innymi słowy: Istnieje nieskończenie wiele przypadków dwóch kolejnych liczb pierwszych z różnicą n .

Chociaż przypuszczenie to nie zostało jeszcze udowodnione ani obalone dla dowolnej wartości n , w 2013 roku dokonał ważnego przełomu Zhang Yitang , który udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele przerw pierwszych o rozmiarze n dla pewnej wartości n <70 000 000. Później tego samego roku James Maynard ogłosił powiązany przełom, który udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele przerw pierwszych o pewnym rozmiarze mniejszym lub równym 600. Według stanu na 14 kwietnia 2014 r., Rok po ogłoszeniu Zhanga, zgodnie z wiki projektu Polymath , n zostało zredukowane do 246. Ponadto, zakładając hipotezę Elliotta-Halberstama i jej uogólnioną postać, wiki projektu Polymath podaje, że n zostało zredukowane odpowiednio do 12 i 6.

Dla n = 2 jest to hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych . Dla n = 4 mówi, że istnieje nieskończenie wiele kuzynów liczb pierwszych ( p , p + 4). Dla n = 6 mówi, że istnieje nieskończenie wiele seksownych liczb pierwszych ( p , p + 6) bez liczby pierwszej między p i p + 6.

Hipoteza Dicksona uogólnia hipotezę Polignaca na wszystkie główne konstelacje.

Przypuszczalna gęstość

Niech nawet n będzie liczbą pierwszych przerw o rozmiarze n poniżej x . ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x)}$

Pierwsza hipoteza Hardy'ego-Littlewooda mówi, że gęstość asymptotyczna ma formę

${\ Displaystyle \ pi _ {n} (x) \ sim 2C_ {n} \frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

gdzie C _n jest funkcją n , a $.$ , że ​​iloraz dwóch wyrażeń dąży do 1, gdy x zbliża się do nieskończoności

C2 _jest bliźniaczą stałą pierwszą

${\ Displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ Frac {p (p-2)} {(p-1)^{2}}}\około 0,660161815846869573927812110014\kropki}$

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie liczby pierwsze p ≥ 3.

C _n to C ₂ pomnożone przez liczbę, która zależy od nieparzystych czynników pierwszych q z n :

${\ Displaystyle C_ {n} = C_ {2} \ prod _ {q | n} {\ Frac {q-1} {q-2}}.}$

Na przykład C ₄ = C ₂ i C ₆ = 2 C ₂ . Bliźniacze liczby pierwsze mają taką samą przypuszczalną gęstość jak kuzyni liczb pierwszych i o połowę mniejszą niż seksowne liczby pierwsze.

Zauważ, że każdy nieparzysty czynnik pierwszy q od n zwiększa przypuszczalną gęstość w porównaniu z bliźniaczymi liczbami pierwszymi o współczynnik ${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$ . Następuje argument heurystyczny . Opiera się na pewnych nieudowodnionych założeniach, więc wniosek pozostaje przypuszczeniem. Szansa na losową nieparzystą liczbę pierwszą q dzielącą a lub a + 2 w losowej „potencjalnej” bliźniaczej parze liczb pierwszych wynosi ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {q}}}$ , ponieważ q dzieli jedną z liczb q od a do a + q − 1. Załóżmy teraz, że q dzieli n i rozważmy potencjalną parę liczb pierwszych ( a , a + n ). q dzieli a + n wtedy i tylko wtedy, gdy q dzieli a , a szansa na to wynosi ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}}}$ . szansa ( a , a + n ) będąc wolnym od czynnika q , podzielone przez szansę, że ( za , a + 2 ) jest wolne od q , to staje się ${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q}}}$ podzielone przez ${\ displaystyle {\ tfrac {q-2} {q}}}$ . To równa się ${\ Displaystyle {\ tfrac {q-1} {q-2}}}$ co przenosi się do domniemanej gęstości pierwszej. W przypadku n = 6 argument upraszcza się do postaci: jeśli a jest liczbą losową, to 3 ma szansę 2/3 podzielenia a lub a + 2, ale tylko szansę 1/3 podzielenia a i a + 6, więc Przypuszcza się, że druga para jest dwa razy bardziej prawdopodobna, aby obie były liczbami pierwszymi.

Notatki

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie de Polignaca” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie k-Tuple” . MathWorld .