Palindromiczna liczba pierwsza
| Domniemany nr. warunków | Nieskończony |
|---|---|
| Pierwsze warunki | 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 |
| Największy znany termin | 10 1888529 - 10 944264 - 1 |
| Indeks OEIS |
|
W matematyce palindromiczna liczba pierwsza (czasami nazywana palindromem ) jest liczbą pierwszą , która jest również liczbą palindromiczną . Palindromiczność zależy od podstawy systemu liczbowego i jego konwencji notacyjnych, podczas gdy pierwotność jest niezależna od takich obaw. Kilka pierwszych pierwszych dziesiętnych to:
- 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, … (sekwencja A002385 w OEIS )
Z wyjątkiem 11, wszystkie palindromiczne liczby pierwsze mają nieparzystą liczbę cyfr, ponieważ test podzielności dla 11 mówi nam, że każda liczba palindromiczna z parzystą liczbą cyfr jest wielokrotnością 11. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele palindromicznych liczb pierwszych w podstawa 10. Największy znany w październiku 2021 r. to
- 10 1888529 - 10 944264 - 1.
który ma 1 888 529 cyfr i został znaleziony 18 października 2021 r. przez Ryana Proppera i Serge'a Batałowa. Z drugiej strony wiadomo, że dla dowolnej podstawy prawie wszystkie liczby palindromowe są liczbami złożonymi , tj. stosunek między liczbami złożonymi palindromowymi a wszystkimi palindromami poniżej n dąży do 1.
Inne bazy
W systemie binarnym palindromiczne liczby pierwsze obejmują liczby pierwsze Mersenne'a i liczby pierwsze Fermata . Wszystkie binarne palindromiczne liczby pierwsze z wyjątkiem binarnej 11 (dziesiętnej 3) mają nieparzystą liczbę cyfr; te palindromy o parzystej liczbie cyfr są podzielne przez 3. Sekwencja binarnych palindromicznych liczb pierwszych zaczyna się (binarnie):
- 11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, 1111111, 100000001, 100111001, 110111011, ... (sekwencja A117697 w OEIS )
Palindromiczne liczby pierwsze o podstawie 12 to: (przy użyciu odwróconych dwóch i trzech odpowiednio dla dziesięciu i jedenastu)
- 2, 3, 5, 7, Ɛ, 11, 111, 131, 141, 171, 181, 1Ɛ1, 535, 545, 565, 575, 585, 5Ɛ5, 727, 737, 747, 767, 797, Ɛ1Ɛ, Ɛ2Ɛ, Ɛ6Ɛ, ...
Nieruchomość
Ze względu na przesądne znaczenie liczb, które zawiera, palindromiczna liczba pierwsza 1000000000000066600000000000001 jest znana jako liczba pierwsza Belfegora , nazwana na cześć Belfegora , jednego z siedmiu książąt piekła . Belphegor's Prime składa się z liczby 666 , otoczonej z każdej strony trzynastoma zerami i jedynką. Belphegor's Prime jest przykładem bestialskiej palindromicznej liczby pierwszej , w której liczba pierwsza p jest palindromiczna z 666 w środku. Kolejna bestialska palindromiczna liczba pierwsza to 700666007.
Ribenboim definiuje potrójnie palindromiczną liczbę pierwszą jako liczbę pierwszą p , dla której: p jest palindromową liczbą pierwszą z q cyframi, gdzie q jest palindromową liczbą pierwszą z r cyframi, gdzie r jest również palindromową liczbą pierwszą. Na przykład p = 10 11310 + 4661664 × 10 5652 + 1, które ma q = 11311 cyfr, a 11311 ma r = 5 cyfr. Pierwsza potrójnie palindromiczna liczba pierwsza (o podstawie 10) to 11-cyfrowa liczba 10000500001. Możliwe, że potrójnie palindromiczna liczba pierwsza o podstawie 10 może być również palindromiczna w innej podstawie, takiej jak podstawa 2, ale byłoby bardzo niezwykłe, gdyby to były również potrójnie palindromiczną liczbą pierwszą w tej bazie.
Palindromiczna liczba pierwsza w dziesiętnym rozwinięciu liczby Pi
8 czerwca 2022 r. Chmura Google ogłosiła, że obliczyła 100 bilionów cyfr liczby pi za pomocą y-cruncher na swojej platformie chmurowej. Największa palindromiczna liczba pierwsza pojawiająca się w znanym rozwinięciu dziesiętnym liczby pi to 9609457639843489367549069.