Zasada podzielności

Reguła podzielności to skrócony i użyteczny sposób określania, czy dana liczba całkowita jest podzielna przez ustalony dzielnik bez wykonywania dzielenia, zwykle poprzez badanie jej cyfr. Chociaż istnieją testy podzielności dla liczb o dowolnej podstawie i wszystkie są różne, w tym artykule przedstawiono zasady i przykłady tylko dla liczb dziesiętnych lub o podstawie 10. Martin Gardner wyjaśnił i spopularyzował te zasady we wrześniu 1962 r. w swoim felietonie „Mathematical Games” w „Scientific American” .

Zasady podzielności dla liczb 1–30

Podane poniżej reguły przekształcają daną liczbę na ogólnie mniejszą liczbę, zachowując jednocześnie podzielność przez dzielnik odsetek. Dlatego, o ile nie zaznaczono inaczej, wynikową liczbę należy ocenić pod kątem podzielności przez ten sam dzielnik. W niektórych przypadkach proces można powtarzać, aż podzielność będzie oczywista; w przypadku innych (takich jak badanie ostatnich n cyfr) wynik należy sprawdzić w inny sposób.

W przypadku dzielników z wieloma regułami reguły są generalnie uporządkowane najpierw dla tych, które są odpowiednie dla liczb z wieloma cyframi, a następnie dla liczb z mniejszą liczbą cyfr.

Aby przetestować podzielność liczby przez potęgę 2 lub potęgę 5 (2 ⁿ lub 5 ⁿ , gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą), wystarczy spojrzeć na ostatnie n cyfr tej liczby.

Aby przetestować podzielność przez dowolną liczbę wyrażoną jako iloczyn czynników pierwszych, ${\ Displaystyle p_ {1} ^ {n} p_ {2} ^ {m} p_ {3} ^ {q}}$ , możemy osobno przetestować podzielność przez każdą liczbę pierwszą do odpowiedniej potęgi. Na przykład testowanie podzielności przez 24 (24 = 8×3 = 2 ³ × 3) jest równoważne testowaniu podzielności przez 8 (2 ³ ) i 3 jednocześnie, więc wystarczy pokazać podzielność przez 8 i przez 3, aby udowodnić podzielność przez 24 .


Dzielnik	Warunek podzielności	Przykłady
1	Brak określonego warunku. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.	2 jest podzielne przez 1.
2	Ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6 lub 8).	1294: 4 jest parzyste.
3	Zsumuj cyfry. Wynik musi być podzielny przez 3.	405 → 4 + 0 + 5 = 9 i 636 → 6 + 3 + 6 = 15, które są wyraźnie podzielne przez 3. 16 499 205 854 376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4 +3+7+6 sumuje się do 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, co jest wyraźnie podzielne przez 3.
3	Odejmij liczbę cyfr 2, 5 i 8 w liczbie od liczby cyfr 1, 4 i 7 w liczbie. Wynik musi być podzielny przez 3.	Korzystając z powyższego przykładu: 16 499 205 854 376 ma cztery cyfry 1, 4 i 7 oraz cztery cyfry 2, 5 i 8; ∴ Ponieważ 4 − 4 = 0 jest wielokrotnością 3, liczba 16 499 205 854 376 jest podzielna przez 3.
4	Dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.	40 832: 32 jest podzielne przez 4.
	Jeśli cyfra dziesiątek jest parzysta, cyfrą jedności musi być 0, 4 lub 8. Jeśli cyfra dziesiątek jest nieparzysta, cyfrą jedności musi być 2 lub 6.	40 832: 3 jest nieparzyste, a ostatnią cyfrą jest 2.
	Podwój cyfrę dziesiątek i dodaj cyfrę jedności do liczby podzielnej przez 4.	40832: 2 × 3 + 2 = 8, co jest podzielne przez 4.
5	Ostatnia cyfra to 0 lub 5.	495: ostatnia cyfra to 5.
6	Jest podzielna przez 2 i przez 3.	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, więc jest podzielna przez 3, a ostatnia cyfra jest parzysta, więc liczba jest podzielna przez 6.
6	Zsumuj cyfrę jedności, 4 razy cyfrę 10, 4 razy cyfrę 100, 4 razy cyfrę 1000, itd. Jeśli wynik jest podzielny przez 6, to samo jest z liczbą początkową. (Działa $n$ n $}$ )	1458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48
7	Tworzenie naprzemiennej sumy bloków trzech od prawej do lewej daje wielokrotność 7	1 369 851: 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	Dodanie 5-krotności ostatniej cyfry do reszty daje wielokrotność 7. (Działa, ponieważ 49 jest podzielne przez 7).	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Odjęcie 2 razy ostatniej cyfry od reszty daje wielokrotność 7. (Działa, ponieważ 21 jest podzielne przez 7).	483: 48 - (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	Odjęcie 9-krotności ostatniej cyfry od reszty daje wielokrotność 7. (Działa, ponieważ 91 jest podzielne przez 7).	483: 48 - (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	Dodanie 3-krotności pierwszej cyfry do następnej, a następnie wpisanie reszty daje wielokrotność 7. (Działa to, ponieważ 10 a + b − 7 a = 3 a + b ; ostatnia liczba ma taką samą resztę jak 10 a + b . )	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6, 63: 6×3 + 3 = 21.
	Dodanie dwóch ostatnich cyfr do dwukrotności reszty daje wielokrotność 7. (Działa, ponieważ 98 jest podzielne przez 7).	483595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	Pomnóż każdą cyfrę (od prawej do lewej) przez cyfrę na odpowiedniej pozycji w tym wzorze (od lewej do prawej): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (powtarzając dla cyfr poza miejscem setek tysięcy ). Dodanie wyników daje wielokrotność 7.	483595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Oblicz resztę z każdej pary cyfr (od prawej do lewej) podczas dzielenia przez 7. Pomnóż resztę z prawej strony przez 1, następną po lewej przez 2, a następną przez 4, powtarzając wzór dla par cyfr poza miejscem setek tysięcy . Dodanie wyników daje wielokrotność 7.	194536: 19\|45\|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, więc nie jest podzielne przez 7 204540: 20\|45\|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, więc jest podzielne przez 7
8	Jeśli cyfra setek jest parzysta, liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr musi być podzielna przez 8.	624: 24.
	Jeśli cyfra setek jest nieparzysta, to liczba uzyskana z dwóch ostatnich cyfr plus 4 musi być podzielna przez 8.	352: 52 + 4 = 56.
	Dodaj ostatnią cyfrę do dwukrotności reszty. Wynik musi być podzielny przez 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Ostatnie trzy cyfry są podzielne przez 8.	34152: Zbadaj podzielność zaledwie 152: 19 × 8
	Dodaj czterokrotność cyfry setek do dwukrotności cyfry dziesiątek do cyfry jedności. Wynik musi być podzielny przez 8.	34152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	Zsumuj cyfry. Wynik musi być podzielny przez 9.	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	Cyfra jedności to 0.	130: cyfrą jedności jest 0.
11	Utwórz naprzemienną sumę cyfr lub równoważnie sum(nieparzysty) - sum(parzysty). Wynik musi być podzielny przez 11.	918082: 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 × 11.
	Dodaj cyfry w blokach po dwa od prawej do lewej. Wynik musi być podzielny przez 11.	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Odejmij ostatnią cyfrę od reszty. Wynik musi być podzielny przez 11.	627: 62 - 7 = 55 = 5 × 11.
	Dodaj ostatnią cyfrę do miejsca setek (dodaj 10 razy ostatnią cyfrę do reszty). Wynik musi być podzielny przez 11.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Jeśli liczba cyfr jest parzysta, dodaj pierwszą i odejmij ostatnią cyfrę od reszty. Wynik musi być podzielny przez 11.	918 082: liczba cyfr jest parzysta (6) → 1808 + 9 - 2 = 1815: 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11
	Jeśli liczba cyfr jest nieparzysta, odejmij pierwszą i ostatnią cyfrę od reszty. Wynik musi być podzielny przez 11.	14179: liczba cyfr jest nieparzysta (5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12	Jest podzielna przez 3 i przez 4.	324: jest podzielna przez 3 i przez 4.
12	Odejmij ostatnią cyfrę od dwukrotności reszty. Wynik musi być podzielny przez 12.	324: 32 × 2 - 4 = 60 = 5 × 12.
13	Tworzą naprzemienną sumę bloków trzech od prawej do lewej. Wynik musi być podzielny przez 13.	2 911 272: 272 - 911 + 2 = -637
	Dodaj 4 razy ostatnią cyfrę do reszty. Wynik musi być podzielny przez 13.	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	Odejmij dwie ostatnie cyfry od czterokrotnej reszty. Wynik musi być podzielny przez 13.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	Odejmij 9 razy ostatnią cyfrę od reszty. Wynik musi być podzielny przez 13.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	Jest podzielna przez 2 i przez 7.	224: jest podzielna przez 2 i przez 7.
14	Dodaj dwie ostatnie cyfry do dwukrotności reszty. Wynik musi być podzielny przez 14.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	Jest podzielna przez 3 i przez 5.	390: jest podzielna przez 3 i przez 5.
16	Jeśli cyfra tysięcy jest parzysta, liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr musi być podzielna przez 16.	254,176: 176.
	Jeśli cyfra tysięcy jest nieparzysta, liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr plus 8 musi być podzielna przez 16.	3408: 408 + 8 = 416.
	Dodaj dwie ostatnie cyfry do czterokrotnej reszty. Wynik musi być podzielny przez 16.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Ostatnie cztery cyfry muszą być podzielne przez 16.	157648: 7648 = 478 × 16.
17	Odejmij 5 razy ostatnią cyfrę od reszty. (Działa, ponieważ 51 jest podzielne przez 17.)	221: 22 - 1 × 5 = 17.
	Odejmij dwie ostatnie cyfry od dwukrotnej reszty. (Działa, ponieważ 102 jest podzielne przez 17.)	4675: 46 × 2 - 75 = 17.
	Dodaj 2 razy ostatnią cyfrę do 3 razy reszty. Usuń końcowe zera. (Działa, ponieważ (10 a + b ) × 2 − 17 a = 3 a + 2 b ; ponieważ 17 jest liczbą pierwszą, a 2 jest względnie pierwszą z 17, 3 a + 2 b jest podzielne przez 17 wtedy i tylko wtedy, gdy 10 a + b Jest.)	4675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	Jest podzielna przez 2 i przez 9.	342: jest podzielna przez 2 i przez 9.
19	Dodaj dwukrotnie ostatnią cyfrę do reszty. (Działa, ponieważ (10 a + b ) × 2 − 19 a = a + 2 b ; ponieważ 19 jest liczbą pierwszą, a 2 jest względnie pierwszą z 19, a + 2 b jest podzielne przez 19 wtedy i tylko wtedy, gdy 10 a + b jest. )	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	Dodaj 4 razy ostatnie dwie cyfry do reszty. (Działa, ponieważ 399 jest podzielne przez 19.)	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	Jest podzielna przez 10, a cyfra dziesiątek jest parzysta.	360: jest podzielne przez 10, a 6 jest parzyste.
	Liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 20.	480: 80 dzieli się przez 20.
	Jest podzielna przez 4 i 5.	480: jest podzielna przez 4 i 5.
21	Dwukrotne odjęcie ostatniej cyfry od reszty daje wielokrotność 21. (Działa, ponieważ (10 a + b ) × 2 − 21 a = − a + 2 b ; ostatnia liczba ma taką samą resztę jak 10 a + b .)	168: 16 - 8 × 2 = 0.
21	Jest podzielna przez 3 i przez 7.	231: jest podzielna przez 3 i przez 7.
22	Jest podzielna przez 2 i przez 11.	352: jest podzielna przez 2 i przez 11.
23	Dodaj 7 razy ostatnią cyfrę do reszty. (Działa, ponieważ 69 jest podzielne przez 23.)	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	Dodaj 3 razy ostatnie dwie cyfry do reszty. (Działa, ponieważ 299 jest podzielne przez 23.)	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
	Odejmij dwa razy ostatnie trzy cyfry od reszty. (Działa, ponieważ 2001 jest podzielne przez 23.)	2068965: 2068 - 965 × 2 = 138.
24	Jest podzielna przez 3 i przez 8.	552: jest podzielna przez 3 i przez 8.
25	Dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75.	134 250: 50 dzieli się przez 25.
26	Jest podzielna przez 2 i przez 13.	156: jest podzielna przez 2 i przez 13.
26	Odjęcie 5-krotności ostatniej cyfry od 2-krotności reszty liczby daje wielokrotność 26. (Działa, ponieważ 52 jest podzielne przez 26).	1248 : (124×2) - (8×5) =208=26×8
27	Sumuj cyfry w blokach po trzy od prawej do lewej. (Działa, ponieważ 999 jest podzielne przez 27.)	2644272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Odejmij 8 razy ostatnią cyfrę od reszty. (Działa, ponieważ 81 jest podzielne przez 27.)	621: 62 - 1 × 8 = 54.
	Odejmij dwie ostatnie cyfry od 8-krotności reszty. (Działa, ponieważ 108 jest podzielne przez 27.)	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	Jest podzielna przez 4 i przez 7.	140: jest podzielna przez 4 i przez 7.
29	Dodaj trzy razy ostatnią cyfrę do reszty. (Działa, ponieważ (10 a + b ) × 3 − 29 a = a + 3 b ; ostatnia liczba ma taką samą resztę jak 10 a + b .)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	Dodaj 9 razy dwie ostatnie cyfry do reszty. (Działa, ponieważ 899 jest podzielne przez 29.)	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	Odejmij dwa razy ostatnie trzy cyfry od reszty. (Działa, ponieważ 2001 jest podzielne przez 29.)	2086956: 2086 - 956 × 2 = 174.
30	Jest podzielna przez 3 i przez 10.	270: jest podzielna przez 3 i przez 10.

Przykłady krok po kroku

Podzielność przez 2

Najpierw weź dowolną liczbę (w tym przykładzie będzie to 376) i zanotuj ostatnią cyfrę liczby, odrzucając pozostałe cyfry. Następnie weź tę cyfrę (6), ignorując resztę liczby i określ, czy jest podzielna przez 2. Jeśli jest podzielna przez 2, to pierwotna liczba jest podzielna przez 2.

Przykład

376 (oryginalny numer)
37 6 (Weź ostatnią cyfrę)
6 ÷ 2 = 3 (Sprawdź, czy ostatnia cyfra jest podzielna przez 2)
376 ÷ 2 = 188 (Jeżeli ostatnia cyfra jest podzielna przez 2, to cała liczba jest podzielna przez 2)

Podzielność przez 3 lub 9

Najpierw weź dowolną liczbę (w tym przykładzie będzie to 492) i dodaj do siebie każdą cyfrę liczby (4 + 9 + 2 = 15). Następnie weź tę sumę (15) i określ, czy jest podzielna przez 3. Pierwotna liczba jest podzielna przez 3 (lub 9) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3 (lub 9).

Dodanie cyfr liczby w górę, a następnie powtórzenie procesu z wynikiem, aż pozostanie tylko jedna cyfra, da resztę pierwotnej liczby, jeśli została podzielona przez dziewięć (chyba że ta pojedyncza cyfra to sama dziewięć, w którym to przypadku liczba jest podzielna przez dziewięć, a reszta wynosi zero).

Można to uogólnić na dowolny standardowy system pozycyjny , w którym dany dzielnik staje się wtedy o jeden mniejszy niż podstawa ; tak więc w podstawie dwunastej cyfry sumują się do pozostałej części pierwotnej liczby po podzieleniu przez jedenaście, a liczby są podzielne przez jedenaście tylko wtedy, gdy suma cyfr jest podzielna przez jedenaście.

Przykład.

492 (oryginalny numer)
4 + 9 + 2 = 15 (Dodaj do siebie każdą pojedynczą cyfrę)
15 jest podzielne przez 3, w którym momencie możemy się zatrzymać. Alternatywnie możemy kontynuować tę samą metodę, jeśli liczba jest nadal zbyt duża:
1 + 5 = 6 (Dodaj do siebie każdą pojedynczą cyfrę)
6 ÷ 3 = 2 (Sprawdź, czy otrzymana liczba jest podzielna przez 3)
492 ÷ 3 = 164 (Jeżeli liczba uzyskana z reguły jest podzielna przez 3, to cała liczba jest podzielna przez 3)

Podzielność przez 4

Podstawową zasadą podzielności przez 4 jest to, że jeśli liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry liczby jest podzielna przez 4, to pierwotna liczba jest podzielna przez 4; dzieje się tak dlatego, że 100 jest podzielne przez 4, więc dodawanie setek, tysięcy itd. jest po prostu dodawaniem kolejnej liczby, która jest podzielna przez 4. Jeśli jakakolwiek liczba kończy się dwucyfrową liczbą, o której wiesz, że jest podzielna przez 4 (np. 24, 04, 08 itd.), to cała liczba będzie podzielna przez 4, niezależnie od tego, co znajduje się przed dwiema ostatnimi cyframi.

Alternatywnie można po prostu dodać połowę ostatniej cyfry do przedostatniej cyfry (lub pozostałej liczby). Jeśli ta liczba jest parzystą liczbą naturalną, to pierwotna liczba jest podzielna przez 4

Można również po prostu podzielić liczbę przez 2, a następnie sprawdzić wynik, aby sprawdzić, czy jest podzielna przez 2. Jeśli tak, pierwotna liczba jest podzielna przez 4. Ponadto wynik tego testu jest taki sam jak wynik oryginalna liczba podzielona przez 4.

Przykład. Główna zasada

2092 (oryginalny numer)
20 92 (Weź dwie ostatnie cyfry numeru, odrzucając wszelkie inne cyfry)
92 ÷ 4 = 23 (Sprawdź, czy liczba jest podzielna przez 4)
2092 ÷ 4 = 523 (Jeśli otrzymana liczba jest podzielna przez 4, to pierwotna liczba jest podzielna przez 4)

Druga metoda

6174 (oryginalny numer)
sprawdź, czy ostatnia cyfra jest parzysta, w przeciwnym razie liczba 6174 nie może być podzielna przez 4.
61 7 4 (Oddziel ostatnie 2 cyfry od reszty numeru)
4 ÷ 2 = 2 (ostatnia cyfra podzielona przez 2)
7 + 2 = 9 (Dodaj połowę ostatniej cyfry do przedostatniej cyfry)
Ponieważ 9 nie jest parzyste, 6174 nie jest podzielne przez 4

Trzecia metoda

1720 (oryginalny numer)
1720 ÷ 2 = 860 (Podziel pierwotną liczbę przez 2)
860 ÷ 2 = 430 (Sprawdź, czy wynik jest podzielny przez 2)
1720 ÷ 4 = 430 (Jeśli wynik jest podzielny przez 2, to pierwotna liczba jest podzielna przez 4)

Podzielność przez 5

Podzielność przez 5 można łatwo określić, sprawdzając ostatnią cyfrę liczby (47 5 ) i sprawdzając, czy jest to 0, czy 5. Jeśli ostatnia liczba to 0 lub 5, cała liczba jest podzielna przez 5.

Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 0, wynikiem będzie pomnożenie pozostałych cyfr przez 2. Na przykład liczba 40 kończy się zerem, więc weź pozostałe cyfry (4) i pomnóż przez dwa (4 × 2 = 8). Wynik jest taki sam jak wynik dzielenia 40 przez 5 (40/5 = 8).

Jeśli ostatnią cyfrą liczby jest 5, wynikiem będą pozostałe cyfry pomnożone przez dwa plus jeden. Na przykład liczba 125 kończy się na 5, więc weź pozostałe cyfry (12), pomnóż je przez dwa (12 × 2 = 24), a następnie dodaj jedną (24 + 1 = 25). Wynik jest taki sam jak wynik dzielenia 125 przez 5 (125/5=25).

Przykład. Jeśli ostatnią cyfrą jest 0

110 (oryginalny numer)
0 11 (Weź ostatnią cyfrę numeru i sprawdź, czy jest to 0 czy 5)
0 11 (Jeśli jest to 0, weź pozostałe cyfry, odrzucając ostatnią)
11 × 2 = 22 (Pomnóż wynik przez 2)
110 ÷ 5 = 22 (Wynik jest taki sam jak oryginalna liczba podzielona przez 5)

Jeśli ostatnią cyfrą jest 5

85 (oryginalny numer)
8 5 (Weź ostatnią cyfrę numeru i sprawdź, czy jest to 0 czy 5)
8 5 (Jeśli jest to 5, weź pozostałe cyfry, odrzucając ostatnią)
8 × 2 = 16 (Pomnóż wynik przez 2)
16 + 1 = 17 (Dodaj 1 do wyniku)
85 ÷ 5 = 17 (Wynik jest taki sam jak oryginalna liczba podzielona przez 5)

Podzielność przez 6

Podzielność przez 6 określa się, sprawdzając pierwotną liczbę, aby sprawdzić, czy jest ona zarówno liczbą parzystą ( podzielną przez 2 ), jak i podzielną przez 3 . Jest to najlepszy test do wykorzystania.

Jeśli liczba jest podzielna przez sześć, weź pierwotną liczbę (246) i podziel ją przez dwa (246 ÷ 2 = 123). Następnie weź ten wynik i podziel go przez trzy (123 ÷ 3 = 41). Ten wynik jest taki sam jak oryginalna liczba podzielona przez sześć (246 ÷ 6 = 41).

Przykład.

Główna zasada

324 (oryginalny numer)
324 ÷ 3 = 108 (Sprawdź, czy pierwotna liczba jest podzielna przez 3)
324 ÷ 2 = 162 LUB 108 ÷ 2 = 54 (Sprawdź, czy pierwotna liczba lub wynik poprzedniego równania jest podzielna przez 2)
324 ÷ 6 = 54 (Jeśli którykolwiek z testów w ostatnim kroku jest prawdziwy, to pierwotna liczba jest podzielna przez 6. Ponadto wynik drugiego testu zwraca ten sam wynik, co pierwotna liczba podzielona przez 6)

Znajdowanie reszty z dzielenia przez 6: (1, −2, −2, −2, −2 i −2 trwa do końca) Brak kropki. -- Sekwencja minimalnej wielkości; (1, 4, 4, 4, 4 i 4 ciągną się dalej) -- Sekwencja dodatnia; Pomnóż skrajną prawą cyfrę przez najbardziej lewą cyfrę w sekwencji i pomnóż drugą najbardziej prawą cyfrę przez druga najbardziej po lewej cyfra w sekwencji i tak dalej.; Następnie oblicz sumę wszystkich wartości i weź resztę z dzielenia przez 6.

Przykład: Jaka jest reszta z dzielenia 1036125837 przez 6?

Mnożenie skrajnej prawej cyfry = 1 × 7 = 7

Mnożenie drugiej cyfry najbardziej na prawo = 3 × −2 = −6

Trzecia cyfra najbardziej na prawo = −16

Czwarta cyfra najbardziej na prawo = −10 Piąta cyfra najbardziej

na prawo = −4 Szósta cyfra

najbardziej na prawo = −2

Siódma najbardziej wysunięta na prawo cyfra = −12

Ósma najbardziej wysunięta na prawo cyfra = −6

Dziewiąta najbardziej wysunięta na prawo cyfra = 0

Dziesiąta najbardziej wysunięta na prawo cyfra = −2

Suma = −51

−51 ≡ 3 (mod 6)

Reszta = 3

Podzielność przez 7

Podzielność przez 7 można sprawdzić metodą rekurencyjną. Liczba postaci 10 x + y jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy x - 2 y jest podzielne przez 7. Innymi słowy, od liczby utworzonej z pozostałych cyfr odejmij dwukrotnie ostatnią cyfrę. Kontynuuj to, aż uzyskasz liczbę, dla której wiadomo, czy jest podzielna przez 7. Pierwotna liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba uzyskana za pomocą tej procedury jest podzielna przez 7. Na przykład liczba 371: 37 - (2×1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = -7; tak więc, ponieważ -7 jest podzielne przez 7, 371 jest podzielne przez 7.

Podobnie liczba postaci 10 x + y jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy x + 5 y jest podzielna przez 7. Dodaj więc pięć razy ostatnią cyfrę do liczby utworzonej przez pozostałe cyfry i kontynuuj, aż otrzymuje się liczbę, dla której wiadomo, czy jest podzielna przez 7.

Inną metodą jest mnożenie przez 3. Liczba w postaci 10 x + y daje taką samą resztę z dzielenia przez 7 jak 3 x + y . Należy pomnożyć skrajną lewą cyfrę pierwotnej liczby przez 3, dodać następną cyfrę, wziąć resztę z dzielenia przez 7 i kontynuować od początku: pomnożyć przez 3, dodać kolejną cyfrę itd. Na przykład liczba 371: 3×3 + 7 = 16 reszta 2 i 2×3 + 1 = 7. Tej metody można użyć do znalezienia reszty z dzielenia przez 7.

⁰ Bardziej skomplikowany algorytm testowania podzielności przez 7 wykorzystuje fakt, że 10 ≡ 1, 10 ¹ ≡ 3, 10 ² ≡ 2, 10 ³ ≡ 6, 10 ⁴ ≡ 4, 10 ⁵ ≡ 5, 10 ⁶ ≡ 1, ... (mod 7). Weź każdą cyfrę liczby (371) w odwrotnej kolejności (173), mnożąc je kolejno przez cyfry 1 , 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , powtarzając tę sekwencję mnożników tak długo, jak to konieczne (1, 3, 2 , 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...) i dodanie produktów (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Oryginalna liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba uzyskana tą procedurą jest podzielna przez 7 (stąd 371 jest podzielne przez 7, ponieważ 28 jest).

Metodę tę można uprościć, eliminując konieczność mnożenia. Przy takim uproszczeniu wystarczy zapamiętać powyższą sekwencję (132645...) oraz dodawać i odejmować, ale zawsze pracując z liczbami jednocyfrowymi.

Uproszczenie wygląda następująco:

Weźmy na przykład liczbę 371
0 Zmień wszystkie wystąpienia 7 , 8 lub 9 odpowiednio na , 1 i 2 . W tym przykładzie otrzymujemy: 301 . Ten drugi krok można pominąć, z wyjątkiem cyfry najbardziej wysuniętej na lewo, ale wykonanie go może ułatwić późniejsze obliczenia.
Teraz zamień pierwszą cyfrę (3) na następną w sekwencji 13264513... W naszym przykładzie 3 staje się 2 .
Dodaj wynik z poprzedniego kroku (2) do drugiej cyfry liczby i zastąp wynik obiema cyframi, pozostawiając wszystkie pozostałe cyfry niezmienione: 2 + 0 = 2. Tak więc 30 1 staje się 2 1 .
Powtarzaj procedurę, aż uzyskasz rozpoznawalną wielokrotność 7 lub dla pewności liczbę między 0 a 6. Tak więc, zaczynając od 21 (co jest rozpoznawalną wielokrotnością 7), weź pierwszą cyfrę (2) i zamień ją na w powyższej kolejności: 2 staje się 6. Następnie dodaj to do drugiej cyfry: 6 + 1 = 7 .
0 Jeśli w dowolnym momencie pierwszą cyfrą jest 8 lub 9, stają się one odpowiednio 1 lub 2. Ale jeśli jest to 7, powinno stać się 0, tylko jeśli nie występują żadne inne cyfry. W przeciwnym razie należy go po prostu odrzucić. Dzieje się tak dlatego, że 7 stałoby się 0, a liczby z co najmniej dwiema cyframi przed kropką dziesiętną nie zaczynają się od 0, co jest bezużyteczne. Zgodnie z tym nasza 7 staje się .

0 Jeśli dzięki tej procedurze uzyskasz liczbę 7 lub jakąkolwiek rozpoznawalną wielokrotność 7, wówczas pierwotna liczba jest wielokrotnością 7. Jeśli uzyskasz dowolną liczbę od 1 do 6 , będzie to wskazywać, ile należy odjąć od liczby pierwotnej, aby uzyskać wielokrotność z 7. Innymi słowy, znajdziesz resztę z dzielenia liczby przez 7. Weźmy na przykład liczbę 186 :

Najpierw zmień 8 na 1: 116 .
Teraz zamień 1 na następną cyfrę ciągu (3), dodaj ją do drugiej cyfry i wpisz wynik zamiast obu: 3 + 1 = 4 . Więc 11 6 staje się teraz 4 6 .
Powtórz procedurę, ponieważ liczba jest większa niż 7. Teraz 4 staje się 5, które należy dodać do 6. To jest 11 .
Powtórz procedurę jeszcze raz: 1 staje się 3, które jest dodawane do drugiej cyfry (1): 3 + 1 = 4 .

Teraz mamy liczbę mniejszą niż 7, a ta liczba (4) jest resztą z dzielenia 186/7. Więc 186 odjąć 4, czyli 182, musi być wielokrotnością 7.

Uwaga: Powodem, dla którego to działa, jest to, że jeśli mamy: a+b=c i b jest wielokrotnością dowolnej danej liczby n , to a i c koniecznie dadzą taką samą resztę z dzielenia przez n . Innymi słowy, w 2 + 7 = 9, 7 dzieli się przez 7. Więc 2 i 9 muszą mieć taką samą resztę z dzielenia przez 7. Reszta to 2.

Dlatego jeśli liczba n jest wielokrotnością 7 (tj. reszta z n /7 to 0), to dodanie (lub odjęcie) wielokrotności 7 nie może zmienić tej właściwości.

To, co robi ta procedura, jak wyjaśniono powyżej dla większości zasad podzielności, to po prostu odejmowanie wielokrotności liczby 7 od pierwotnej liczby, aż do osiągnięcia liczby, która jest wystarczająco mała, abyśmy pamiętali, czy jest to wielokrotność liczby 7. Jeśli 1 stanie się 3 w następującym miejscu dziesiętnym, to dokładnie to samo, co konwersja 10×10 ⁿ na 3×10 ⁿ . A to właściwie to samo, co odjęcie 7×10 ⁿ (wyraźnie wielokrotność 7) od 10×10 ⁿ .

Podobnie, gdy zamieniasz 3 na 2 na następnej pozycji dziesiętnej, zamieniasz 30×10 ⁿ na 2×10 ⁿ , co jest tym samym, co odejmowanie 30×10 ⁿ −28×10 ⁿ , a to znowu jest odejmowaniem wielokrotność 7. Ten sam powód dotyczy wszystkich pozostałych konwersji:

20×10n ⁻ 6× ¹⁰ⁿ = 14 × ¹⁰ⁿ
60×10n ⁻ 4× ¹⁰ⁿ = 56 × ¹⁰ⁿ
40×10n ⁻ 5× ¹⁰ⁿ = 35 × ¹⁰ⁿ
50×10n ⁻ 1× ¹⁰ⁿ = 49 × ¹⁰ⁿ

Przykład pierwszej metody 1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. ODPOWIEDŹ: 1050 jest podzielne przez 7.

Przykład drugiej metody 1050 → 0501 (odwrotnie) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (pomnóż i dodaj). ODPOWIEDŹ: 1050 jest podzielne przez 7.

Wedyjska metoda podzielności przez oskulację Podzielność przez siedem można sprawdzić przez pomnożenie przez Ekhādika . Zamień dzielnik siedem na rodzinę dziewiątek, mnożąc przez siedem. 7×7=49. Dodaj jeden, odrzuć cyfrę jednostek i weź 5, Ekhādika , jako mnożnik. Zacznij od prawej. Pomnóż przez 5, dodaj produkt do następnej cyfry po lewej stronie. Zapisz ten wynik w wierszu poniżej tej cyfry. Powtórz tę metodę, mnożąc cyfrę jedności przez pięć i dodając ten iloczyn do liczby dziesiątek. Dodaj wynik do następnej cyfry po lewej stronie. Zapisz ten wynik pod cyfrą. Kontynuuj do końca. Jeśli wynikiem jest zero lub wielokrotność siedmiu, to tak, liczba jest podzielna przez siedem. W przeciwnym razie tak nie jest. Jest to zgodne z ideałem wedyjskim, jednowierszowym zapisem. ^{[ niewiarygodne źródło? ]}

Przykład metody wedyjskiej:

Czy 438 722 025 jest podzielne przez siedem? Mnożnik = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 TAK

Metoda Pohlmana-Massa podzielności przez 7 Metoda Pohlmana-Massa zapewnia szybkie rozwiązanie, które pozwala określić, czy większość liczb całkowitych jest podzielna przez siedem w trzech krokach lub mniej. Ta metoda może być przydatna w konkursie matematycznym, takim jak MATHCOUNTS, gdzie czas jest czynnikiem decydującym o rozwiązaniu bez kalkulatora w Rundzie Sprintu.

Krok A: Jeśli liczba całkowita wynosi 1000 lub mniej, odejmij dwukrotnie ostatnią cyfrę od liczby utworzonej przez pozostałe cyfry. Jeśli wynik jest wielokrotnością siódemki, to tak samo jest z pierwotną liczbą (i odwrotnie). Na przykład:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 TAK 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 TAK 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NIE

Ponieważ 1001 jest podzielne przez siedem, dla powtarzających się zestawów 1, 2 lub 3 cyfr, które tworzą liczby 6-cyfrowe (dozwolone są wiodące zera), pojawia się interesujący wzór, w którym wszystkie takie liczby są podzielne przez siedem. Na przykład:

 001 001 = 1001 / 7 = 143 010 010 = 10010 / 7 = 1430 011 011 = 11011 / 7 = 1573 100 100 = 100100 / 7 = 14300 101 101 = 101101 / 7 = 14 443 110 110 = 110 110 / 7 = 15 730 01

 01 01 = 10 101 / 7 = 1 443 10 10 10 = 101 010 / 7 = 14 430

 111 111 / 7 = 15 873 222 222 / 7 = 31 746 999 999 / 7 = 142 857 576

 576 / 7 = 8 2368

We wszystkich powyższych przykładach odjęcie pierwszych trzech cyfr od trzech ostatnich daje wielokrotność siedmiu. Zauważ, że wiodące zera mogą tworzyć 6-cyfrowy wzór.

Zjawisko to stanowi podstawę kroków B i C.

Krok B: Jeśli liczba całkowita wynosi od 1001 do miliona, znajdź powtarzający się wzór składający się z 1, 2 lub 3 cyfr, który tworzy 6-cyfrową liczbę zbliżoną do liczby całkowitej (początkowe zera są dozwolone i mogą pomóc w wizualizacji wzoru ). Jeśli dodatnia różnica jest mniejsza niż 1000, zastosuj krok A. Można to zrobić, odejmując trzy pierwsze cyfry od trzech ostatnich. Na przykład:

341 355 − 341 341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 TAK 67 326 − 067 067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 TAK

Fakt, że 999 999 jest wielokrotnością 7, można wykorzystać do określenia podzielności liczb całkowitych większych niż milion, zmniejszając liczbę całkowitą do liczby 6-cyfrowej, którą można wyznaczyć w kroku B. Można to łatwo zrobić, dodając cyfry po lewej stronie pierwszych sześciu do ostatnich sześciu i wykonaj krok A.

Krok C: Jeśli liczba całkowita jest większa niż milion, odejmij najbliższą wielokrotność 999 999, a następnie zastosuj krok B. W przypadku jeszcze większych liczb użyj większych zestawów, takich jak 12 cyfr (999 999 999 999) i tak dalej. Następnie podziel liczbę całkowitą na mniejszą liczbę, którą można rozwiązać, wykonując krok B. Na przykład:

22 862 420 − (999 999 × 22) = 22 862 420 − 21 999 978 -> 862 420 + 22 = 862 442 862 442 -> 862 − 442 (Krok B) = 420 -> 42 − (0×2) (Krok A) = 42 TAK

Pozwala to na dodawanie i odejmowanie naprzemiennych zestawów trzech cyfr w celu określenia podzielności przez siedem. Zrozumienie tych wzorców pozwala szybko obliczyć podzielność siódemki, jak widać w poniższych przykładach:

Pohlman-Mass metoda podzielności przez 7, przykłady:

 Czy 98 jest podzielne przez siedem? 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 TAK (Krok A)

 Czy liczba 634 jest podzielna przez siedem? 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NIE (Krok A)

 Czy 355,341 jest podzielne przez siedem? 355 341 − 341 341 = 14 000 (krok B) -> 014 − 000 (krok B) -> 14 = 1 − (4×2) (krok A) = 1 − 8 = −7 TAK Czy 42 341 530 jest podzielne przez siedem

 ? 42 341 530 -> 341 530 + 42 = 341 572 (Krok C) 341 572 − 341 341 = 231 (Krok B) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 TAK (Krok A) Korzystanie z szybkiego naprzemiennego dodawania i odejmowania: 42 341

 530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 TAK

Mnożenie przez 3 metoda podzielności przez 7, przykłady:

 Czy 98 jest podzielne przez siedem? 98 -> 9 reszta 2 -> 2×3 + 8 = 14 TAK Czy

 634 jest podzielne przez siedem? 634 -> 6×3 + 3 = 21 -> reszta 0 -> 0×3 + 4 = 4 NIE Czy

 355,341 dzieli się przez siedem? 3 × 3 + 5 = 14 -> reszta 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> reszta 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> reszta 2 -> 2× 3 + 1 = 7 TAK

 Znajdź resztę z 1036125837 podzieloną przez 7 1×3 + 0 = 3 3×3 + 3 = 12 reszta 5 5×3 + 6 = 21 reszta 0 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 5 5×3 + 5 = 20 reszta 6 6×3 + 8 = 26 reszta 5 5×3 + 3 = 18 reszta 4 4×3 + 7 = 19 reszta 5 Odpowiedź to 5

Znalezienie reszty z dzielenia przez 7

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, cykl powtarza się dla kolejnych sześciu cyfr) Okres: 6 cyfr. Powtarzające się liczby: 1, 3, 2, −1, −3, −2 Minimalna sekwencja wielkości (1, 3, 2, 6, 4, 5, cykl powtarza się przez następne sześć cyfr) Okres: 6 cyfr. Powtarzające się liczby: 1, 3, 2, 6, 4, 5 Sekwencja dodatnia

Pomnóż cyfrę najbardziej po prawej stronie przez cyfrę najbardziej po lewej w sekwencji i pomnóż drugą cyfrę najbardziej po prawej przez drugą cyfrę najbardziej po lewej w sekwencji i tak dalej i tak dalej. Następnie oblicz sumę wszystkich wartości i weź moduł 7. Przykład: Jaka jest reszta z dzielenia 1036125837 przez 7? Mnożenie skrajnej prawej cyfry = 1 × 7 = 7 Mnożenie drugiej cyfry najbardziej na prawo = 3 × 3 = 9 Trzecia cyfra najbardziej na prawo = 8 × 2 = 16 Czwarta cyfra najbardziej na prawo = 5 × −1 = −5 Piąta cyfra najbardziej na prawo = 2 × − 3 = −6 Szósta cyfra najbardziej na prawo = 1 × −2 = −2 Siódma cyfra najbardziej na prawo = 6 × 1 = 6 Ósma cyfra najbardziej na prawo = 3 × 3 = 9 Dziewiąta cyfra najbardziej na prawo = 0 Dziesiąta cyfra najbardziej na prawo = 1 × −1 = −1 Suma = 33 33 moduł 7 = 5 Reszta = 5

Metoda par cyfr podzielności przez 7

Ta metoda wykorzystuje wzór 1 , −3 , 2 na parach cyfr . Oznacza to, że podzielność dowolnej liczby przez siedem można przetestować, najpierw dzieląc liczbę na pary cyfr, a następnie stosując algorytm na parach trzech cyfr (sześć cyfr). Gdy liczba jest mniejsza niż sześć cyfr, wpisz zero po prawej stronie, aż będzie sześć cyfr. Gdy liczba jest większa niż sześć cyfr, powtórz cykl na następnej sześciocyfrowej grupie, a następnie dodaj wyniki. Powtarzaj algorytm, aż wynik będzie małą liczbą. Oryginalna liczba jest podzielna przez siedem wtedy i tylko wtedy, gdy liczba uzyskana za pomocą tego algorytmu jest podzielna przez siedem. Ta metoda jest szczególnie odpowiednia dla dużych liczb.

Przykład 1: Liczba do sprawdzenia to 157514. Najpierw dzielimy tę liczbę na trzy pary cyfr: 15, 75 i 14. Następnie stosujemy algorytm: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 Ponieważ wynikowe 182 jest mniejsza niż sześć cyfr, dodajemy zera po prawej stronie, aż będzie sześć cyfr. Następnie ponownie stosujemy nasz algorytm: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 Wynik −42 jest podzielny przez siedem, więc pierwotna liczba 157514 jest podzielna przez siedem.

Przykład 2: Liczba do sprawdzenia to 15751537186. ( 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 Wynik −77 jest podzielna przez siedem, więc pierwotna liczba 15751537186 jest podzielna przez siedem.

Inna metoda dzielenia par cyfr przez 7

metoda

Jest to nierekurencyjna metoda znajdowania reszty pozostawionej przez liczbę przy dzieleniu przez 7:

Podziel liczbę na pary cyfr, zaczynając od miejsca jedności. W razie potrzeby dodaj cyfrę 0, aby uzupełnić ostatnią parę.
Oblicz reszty pozostawione przez każdą parę cyfr z dzielenia przez 7.
Pomnóż resztę przez odpowiedni mnożnik z ciągu 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... : resztę z pary cyfr składającej się z jedności i dziesiątek należy pomnożyć przez 1, setki i tysiące przez 2 , dziesięć tysięcy i sto tysięcy przez 4, milion i znowu dziesięć milionów przez 1 i tak dalej.
Oblicz reszty, które pozostały z każdego iloczynu przy dzieleniu przez 7.
Dodaj te reszty.
Reszta sumy z dzielenia przez 7 to reszta z danej liczby z dzielenia przez 7.

Na przykład:

Liczba 194 536 daje resztę 6 z dzielenia przez 7.

Liczba 510 517 813 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 7.

Dowód poprawności metody

Metoda opiera się na obserwacji, że 100 daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7. A ponieważ dzielimy liczbę na pary cyfr, zasadniczo mamy potęgi 100.

1 tryb 7 = 1

100 modów 7 = 2

10 000 modów 7 = 2^2 = 4

1 000 000 modów 7 = 2^3 = 8; 8 trybów 7 = 1

10 0000 000 modów 7 = 2^4 = 16; 16 trybów 7 = 2

1 000 0000 000 modów 7 = 2^5 = 32; 32 tryb 7 = 4

I tak dalej.

Poprawność metody jest następnie ustalana przez następujący łańcuch równości:

Niech N będzie daną liczbą ${\ Displaystyle {\ overline {a_ {2n} a_ {2n-1}... a_ {2} a_ {1}}}$ }

${\ Displaystyle {\ overline {a_ {2n} a_ {2n-1}... a_ {2} a_ {1}}} \ mod 7}$

${\ Displaystyle [\ suma _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k- 1})\razy 10^{2k-2}]{\bmod {7}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1} \ razy 10^{2k-2}){\bmod {7}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k -1}{\bmod {7}})\razy (10^{2k-2}{\bmod {7}})}$

Podzielność przez 13

Test reszty 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, cykl trwa.) Jeśli nie czujesz się komfortowo z liczbami ujemnymi, użyj tej sekwencji. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Pomnóż skrajną prawą cyfrę liczby przez liczbę najbardziej wysuniętą na lewo w kolejności pokazanej powyżej i pomnóż drugą najbardziej wysuniętą na prawo cyfrę do drugiej najbardziej wysuniętej na lewo cyfry liczby w sekwencji. Cykl trwa.

Przykład: Jaka jest reszta z dzielenia 321 przez 13? Używając pierwszej sekwencji, Ans: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17 Reszta = −17 mod 13 = 9

Przykład: Jaka jest reszta z dzielenia 1234567 przez 13? Używając drugiej sekwencji, odpowiedź: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9 Reszta = 9

Powyżej 30

Własności podzielności liczb można określić na dwa sposoby, w zależności od rodzaju dzielnika.

Dzielniki kompozytowe

Liczba jest podzielna przez dany dzielnik, jeśli jest podzielna przez najwyższą potęgę każdego z jej czynników pierwszych . Na przykład, aby określić podzielność przez 36, sprawdź podzielność przez 4 i przez 9. Zauważ, że sprawdzenie 3 i 12 lub 2 i 18 nie wystarczy. Przydatna może być tabela czynników pierwszych .

Dzielnik złożony może również mieć regułę utworzoną przy użyciu tej samej procedury, co dla dzielnika pierwszego, podanej poniżej, z zastrzeżeniem, że zaangażowane manipulacje nie mogą wprowadzać żadnego czynnika obecnego w dzielniku. Na przykład nie można stworzyć reguły dla 14, która wymaga pomnożenia równania przez 7. Nie stanowi to problemu dla dzielników pierwszych, ponieważ nie mają one mniejszych dzielników.

Dzielniki pierwsze

Celem jest znalezienie odwrotności do 10 modulo rozważanej liczby pierwszej (nie działa dla 2 lub 5) i użycie tego jako mnożnika, aby podzielność pierwotnej liczby przez tę liczbę pierwszą zależała od podzielności nowej (zwykle mniejszej ) liczba o tej samej liczbie pierwszej. Używając 31 jako przykładu, ponieważ 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, otrzymujemy regułę używania y − 3 x w poniższej tabeli. Podobnie, ponieważ 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 również otrzymujemy komplementarną regułę y + 28 x tego samego rodzaju - nasz wybór dodawania lub odejmowania jest podyktowany arytmetyczną wygodą mniejszej wartości. W rzeczywistości ta reguła dla dzielników pierwszych oprócz 2 i 5 jest w rzeczywistości regułą podzielności przez dowolną liczbę całkowitą względnie pierwszą do 10 (w tym 33 i 39; patrz tabela poniżej). To dlatego ostatni warunek podzielności w tabelach powyżej i poniżej dla dowolnej liczby względnie pierwszej do 10 ma ten sam rodzaj postaci (dodaj lub odejmij pewną wielokrotność ostatniej cyfry od reszty liczby).

Godne uwagi przykłady

Poniższa tabela zawiera zasady dotyczące niektórych bardziej znaczących dzielników:

Dzielnik	Warunek podzielności	Przykłady
31	Odejmij trzy razy ostatnią cyfrę od reszty.	837: 83 - 3×7 = 62
32	Liczba utworzona z ostatnich pięciu cyfr jest podzielna przez 32.	25135520: 35520=1110×32
	Jeśli cyfra dziesięciu tysięcy jest parzysta, zbadaj liczbę utworzoną przez ostatnie cztery cyfry.	41312: 1312.
	Jeśli cyfra dziesięciu tysięcy jest nieparzysta, sprawdź liczbę utworzoną przez cztery ostatnie cyfry plus 16.	254176: 4176+16 = 4192.
	Dodaj dwie ostatnie cyfry do 4-krotności reszty.	1312: (13×4) + 12 = 64.
33	Dodaj 10 razy ostatnią cyfrę do reszty.	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
	Dodaj cyfry w blokach po dwa od prawej do lewej.	2145: 21 + 45 = 66.
	Jest podzielna przez 3 i przez 11.	627: 6-2+7 = 11 i 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	Jest podzielna przez 7 i przez 5.	595: 59 - (2×5) = 49 = 7×7. A liczba kończy się na 5.
37	Weź cyfry w blokach po trzy od prawej do lewej i dodaj każdy blok.	2 651 272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37 × 25.
	Odejmij 11 razy ostatnią cyfrę od reszty.	925: 92 - (5×11) = 37.
	Weź pierwszą parę cyfr z prawej strony i odejmij 11 razy następną cyfrę i powtórz ten wzór ze wszystkimi cyframi.	2 651 272: 72 - 11 x 2 + 51 - 11 x 6 + 2 = 37.
39	Jest podzielna przez 3 i przez 13.	351: 35 - 1 = 34 i 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
39	Dodaj 4 razy ostatnią cyfrę do reszty.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	Sumuj cyfry w blokach po pięć od prawej do lewej.	72 841 536 727: 7 + 28 415 + 36 727 = 65 149 = 41 × 1589.
41	Odejmij 4 razy ostatnią cyfrę od reszty.	738: 73 - 8 × 4 = 41.
43	Dodaj 13 razy ostatnią cyfrę do reszty.	36249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
43	Odejmij 3 razy dwie ostatnie cyfry od reszty.	36249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	Jest podzielna przez 9 i przez 5.	2025: Kończy się za 5 i 2+0+2+5=9.
47	Odejmij 14 razy ostatnią cyfrę od reszty.	1642979: 164297 - 9 × 14 = 164171, 16417 - 14 = 16403, 1640 - 3 × 14 = 1598, 159 - 8 × 14 = 47.
47	Dodaj dwie ostatnie cyfry do 6-krotności reszty.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	Dodaj 5 razy ostatnią cyfrę do reszty.	1127: 112+(7×5)=147. 147: 14 + (7×5) = 49
49	Dodaj dwie ostatnie cyfry do 2-krotności reszty.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	Ostatnie dwie cyfry to 00 lub 50.	134250: 50.
51	Liczba musi być podzielna przez 3 i 17.	459: 4 × 2 - 59 = -51 i 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	Odejmij 5 razy ostatnią cyfrę od reszty.	204: 20-(4×5)=0
	Odejmij dwie ostatnie cyfry od 2-krotności reszty.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	Dodaj 16 razy ostatnią cyfrę do reszty.	3657: 365+(7×16)=477 = 9×53
53	Odejmij dwie ostatnie cyfry od 6-krotności reszty.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	Liczba musi być podzielna przez 11 i kończyć się cyfrą 0 lub 5.	605: Kończy się na 5 i 60−5= 55 = 11×5.
57	Liczba musi być podzielna przez 3 i 19.	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19 i 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
57	Odejmij 17 razy ostatnią cyfrę od reszty.	3591: 359 - 17 = 342, 34 - 2 × 17 = 0.
59	Dodaj 6 razy ostatnią cyfrę do reszty.	295: 29 + 5×6= 59
61	Odejmij 6 razy ostatnią cyfrę od reszty.	732: 73-(2×6)=61
64	Liczba utworzona z ostatnich sześciu cyfr musi być podzielna przez 64.	2 640 000: 640 000 dzieli się przez 64.
65	Liczba musi być podzielna przez 13 i kończyć się cyfrą 0 lub 5.	3185: 318 + (5×4) = 338 = 13×26. A liczba kończy się na 5.
67	Odejmij dwa razy ostatnie dwie cyfry od reszty.	9112: 91 - 12×2= 67
67	Odejmij 20 razy ostatnią cyfrę od reszty.	4489: 448−9×20=448−180=268.
69	Liczba musi być podzielna przez 3 i 23.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4 i 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
69	Dodaj 7 razy ostatnią cyfrę do reszty.	345: 34 + 5×7 = 69
71	Odejmij 7 razy ostatnią cyfrę od reszty.	852: 85-(2×7)=71
73	Tworzą naprzemienną sumę bloków czterech od prawej do lewej.	220241: 241 - 22 = 219.
73	Dodaj 22 razy ostatnią cyfrę do reszty.	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	Ostatnie dwie cyfry to 00, 25, 50 lub 75, a suma wszystkich cyfr musi być podzielna przez 3.	3675: 75 jest na końcu i 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3×7.
77	Liczba jest podzielna przez 7 i 11.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6 i 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
77	Tworzą naprzemienną sumę bloków trzech od prawej do lewej.	76 923: 923 - 76 = 847.
79	Dodaj 8 razy ostatnią cyfrę do reszty.	711: 71 + 1×8= 79
81	Odejmij 8 razy ostatnią cyfrę od reszty.	162: 16-(2×8)=0
83	Dodaj 25 razy ostatnią cyfrę do reszty.	581: 58+(1×25)=83
83	Dodaj ostatnie trzy cyfry do czterokrotnej reszty.	38014: (4×38) + 14 = 166
85	Liczba musi być podzielna przez 17 i kończyć się cyfrą 0 lub 5.	30 855: 3085 - 25 = 3060 = 17 × 180. A liczba kończy się na 5.
87	Liczba musi być podzielna przez 29, a suma wszystkich jej cyfr musi być podzielna przez 3.	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
87	Odejmij 26 razy ostatnią cyfrę od reszty.	15138: 1513 - 8 × 26 = 1305, 130 - 5 × 26 = 0.
89	Dodaj 9 razy ostatnią cyfrę do reszty.	801: 80 + 1×9 = 89
89	Dodaj ostatnie dwie cyfry do jedenastokrotności reszty.	712: 12 + (7×11) = 89
91	Odejmij 9 razy ostatnią cyfrę od reszty.	182: 18 - (2×9) = 0
	Tworzą naprzemienną sumę bloków trzech od prawej do lewej.	5 274 997: 5 - 274 + 997 = 728
	Liczba jest podzielna przez 7 i 13.	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828-2=826. 82−12=70.
95	Liczba musi być podzielna przez 19 i kończyć się cyfrą 0 lub 5.	51585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19 × 3. A liczba kończy się na 5.
97	Odejmij 29 razy ostatnią cyfrę od reszty.	291: 29 - (1×29) = 0
97	Dodaj dwie ostatnie cyfry do 3-krotności reszty.	485: (3×4)+ 85 = 97
99	Liczba jest podzielna przez 9 i 11.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
99	Dodaj cyfry w blokach po dwa od prawej do lewej.	144837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	Kończy się co najmniej dwoma zerami.	14100: Ma dwa zera na końcu.
101	Tworzą naprzemienną sumę bloków dwóch od prawej do lewej.	40299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	Dodaj 31 razy ostatnią cyfrę do reszty.	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
103	Odejmij dwie ostatnie cyfry od 3-krotności reszty.	5356: (53×3) − 56 = 103
107	Odejmij 32 razy ostatnią cyfrę od reszty.	428: 42 - (8×32) = −214
107	Odejmij dwie ostatnie cyfry od 7-krotności reszty.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	Dodaj 11 razy ostatnią cyfrę do reszty.	654: 65 + (11×4) = 109
111	Dodaj cyfry w blokach po trzy od prawej do lewej.	1 370 184: 1 + 370 + 184 = 555
113	Dodaj 34 razy ostatnią cyfrę do reszty.	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	Odejmij 12 razy ostatnią cyfrę od reszty.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr musi być podzielna przez 125.	2125: 125 jest podzielne przez 125.
127	Odejmij 38 razy ostatnią cyfrę od reszty.	4953: 495 - 38 × 3 = 381, 38 - 38 × 1 = 0.
128	Liczba utworzona z ostatnich siedmiu cyfr musi być podzielna przez 128.	789 123 456: 9 123 456 dzieli się przez 128.
131	Odejmij 13 razy ostatnią cyfrę od reszty.	1834: 183 - 13 × 4 = 131, 13 - 13 = 0.
137	Tworzą naprzemienną sumę bloków czterech od prawej do lewej.	340171: 171 - 34 = 137.
139	Dodaj 14 razy ostatnią cyfrę do reszty.	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	Tworzą naprzemienną sumę bloków trzech od prawej do lewej.	1 774 487: 1 - 774 + 487 = -286
	Dodaj 43 razy ostatnią cyfrę do reszty.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
	Liczba musi być podzielna przez 11 i 13.	2431: 243 - 1 = 242. 242 = 11 × 22. 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	Dodaj 15 razy ostatnią cyfrę do reszty.	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	Odejmij 15 razy ostatnią cyfrę od reszty.	66893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151 × 44.
157	Odejmij 47 razy ostatnią cyfrę od reszty.	7536: 753 - 47 × 6 = 471, 47 - 47 = 0.
163	Dodaj 49 razy ostatnią cyfrę do reszty.	26569: 2656 + 441 = 3097 = 163 × 19.
167	Odejmij 5 razy ostatnie dwie cyfry od reszty.	53774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	Dodaj 52 razy ostatnią cyfrę do reszty.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	Dodaj 18 razy ostatnią cyfrę do reszty.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	Odejmij 18 razy ostatnią cyfrę od reszty.	3258: 325 - 18 × 8 = 181, 18 - 18 = 0.
191	Odejmij 19 razy ostatnią cyfrę od reszty.	3629: 362 - 19 × 9 = 191, 19 - 19 = 0.
193	Dodaj 58 razy ostatnią cyfrę do reszty.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	Odejmij 59 razy ostatnią cyfrę od reszty.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	Dodaj 20 razy ostatnią cyfrę do reszty.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Ostatnie dwie cyfry numeru to „00”, a trzecia ostatnia cyfra to liczba parzysta.	34 400: Trzecia od końca cyfra to 4, a dwie ostatnie cyfry to zera.
211	Odejmij 21 razy ostatnią cyfrę od reszty.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431, 443 - 21 × 1 = 422, 42 - 21 × 2 = 0.
223	Dodaj 67 razy ostatnią cyfrę do reszty.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	Liczba musi być podzielna przez 9 i kończyć się cyframi „00”, „25”, „50” lub „75”.	15 075: 75 jest na końcu, a 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2 × 9.
227	Odejmij 68 razy ostatnią cyfrę od reszty.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767, 476 - 68 × 7 = 0.
229	Dodaj 23 razy ostatnią cyfrę do reszty.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	Dodaj 70 razy ostatnią cyfrę do reszty.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Weź cyfry w blokach po siedem od prawej do lewej i dodaj każdy blok.	1 560 000 083: 156 + 83 = 239.
239	Dodaj 24 razy ostatnią cyfrę do reszty.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	Odejmij 24 razy ostatnią cyfrę od reszty.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784, 578 - 24 × 4 = 482, 48 - 24 × 2 = 0.
250	Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr musi być podzielna przez 250.	1 327 750: 750 dzieli się przez 250.
251	Odejmij 25 razy ostatnią cyfrę od reszty.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275, 627 - 25 × 5 = 502, 50 - 25 × 2 = 0.
256	Liczba utworzona z ostatnich ośmiu cyfr musi być podzielna przez 256.
257	Odejmij 77 razy ostatnią cyfrę od reszty.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911, 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	Dodaj 79 razy ostatnią cyfrę do reszty.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	Dodaj 27 razy ostatnią cyfrę do reszty.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	Weź cyfry w blokach po pięć od prawej do lewej i dodaj każdy blok.	77 925 613 961: 7 + 79 256 + 13 961 = 93 224 = 271 × 344.
271	Odejmij 27 razy ostatnią cyfrę od reszty.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317, 731 - 27 × 7 = 542, 54 - 27 × 2 = 0.
277	Odejmij 83 razy ostatnią cyfrę od reszty.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925, 692 - 83 × 5 = 277.
281	Odejmij 28 razy ostatnią cyfrę od reszty.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868, 786 - 28 × 8 = 562, 56 - 28 × 2 = 0.
283	Dodaj 85 razy ostatnią cyfrę do reszty.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	Dodaj 88 razy ostatnią cyfrę do reszty.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Ostatnie dwie cyfry liczby to „00”, a wynik sumowania cyfr musi być podzielny przez 3.	3300: Wynikiem sumy cyfr jest 6, a dwie ostatnie cyfry to zera.
329	Dodaj 33 razy ostatnią cyfrę do reszty.	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329.
329	Liczba jest podzielna przez 7 i 47.	19411: 1941 - (2 × 1) = 1939 → 193 - (2 × 9) = 175 → 17 - (2 × 5) = 7. 11 + (194 × 6) = 1175 → 75 + (11 × 6) = 141.
331	Odejmij 33 razy ostatnią cyfrę od reszty.	22177: 2217-231=1986. 1986=6×331.
333	Dodaj cyfry w blokach po trzy od prawej do lewej.	410 922: 410 + 922 = 1332
369	Weź cyfry w blokach po pięć od prawej do lewej i dodaj każdy blok.	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119.
369	Dodaj 37 razy ostatnią cyfrę do reszty.	8487: 848+7×37=848+259=1107.
375	Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr musi być podzielna przez 125, a suma wszystkich cyfr jest wielokrotnością liczby 3.	140 625: 625 = 125 × 5 i 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6 × 3.
499	Dodaj ostatnie trzy cyfry do dwukrotnej reszty.	74351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Kończy się na 000 lub 500.	47 500 dzieli się przez 500.
512	Liczba utworzona z dziewięciu ostatnich cyfr musi być podzielna przez 512.
625	Kończy się na 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 lub 9375. Lub liczba utworzona z czterech ostatnich cyfr jest podzielna przez 625.	567 886 875: 6875.
783	Liczba jest podzielna przez 27 i 29.	36801: 036 + 801 = 837 (czyli 27 × 31) 01 × 9 + 368 = 377 (czyli 29 × 13)
983	Dodaj ostatnie trzy cyfry do siedemnastokrotnej reszty.	64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983
987	Dodaj ostatnie trzy cyfry do trzynastej reszty.	30597: 30×13+597=987
987	Liczba musi być podzielna przez 329, a suma wszystkich cyfr musi być podzielna przez 3.	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658. 658=2×329.
989	Dodaj trzy ostatnie cyfry do jedenastokrotności reszty.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
989	Liczba musi być podzielna przez 23 i 43.	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43.
993	Dodaj ostatnie trzy cyfry do siedmiokrotnej reszty.	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
993	Liczba musi być podzielna przez 331, a suma wszystkich cyfr musi być podzielna przez 3.	8937: 8+7=15. 15=3×5. (Uwaga: 9 i 3 nie muszą być w sumie, są podzielne przez 3.) 893−231=662. 662=2×331.
997	Dodaj ostatnie trzy cyfry do trzykrotnej reszty.	157 526: 157 × 3 + 526 = 997
999	Dodaj cyfry w blokach po trzy od prawej do lewej.	235764: 235 + 764 = 999
1000	Kończy się co najmniej trzema zerami.	2000 kończy się trzema zerami

Uogólniona zasada podzielności

Aby przetestować podzielność przez D , gdzie D kończy się na 1, 3, 7 lub 9, można zastosować następującą metodę. Znajdź dowolną wielokrotność D kończącą się na 9. (Jeśli D kończy się odpowiednio na 1, 3, 7 lub 9, to pomnóż przez 9, 3, 7 lub 1.) Następnie dodaj 1 i podziel przez 10, oznaczając wynik jako m . Wtedy liczba N = 10 t + q jest podzielna przez D wtedy i tylko wtedy, gdy mq + t jest podzielna przez D . Jeśli liczba jest zbyt duża, możesz również podzielić ją na kilka ciągów po e cyfry każdy, spełniając albo 10 ^e = 1, albo 10 ^e = −1 (mod D ). Suma (lub suma alternatywna) liczb ma taką samą podzielność jak pierwotna.

Na przykład, aby ustalić, czy 913 = 10×91 + 3 jest podzielne przez 11, znajdź m = (11×9+1)÷10 = 10. Wtedy mq+t = 10×3+91 = 121; to jest podzielne przez 11 (z ilorazem 11), więc 913 jest również podzielne przez 11. Jako inny przykład, aby ustalić, czy 689 = 10 × 68 + 9 jest podzielne przez 53, znajdź m = (53 × 3 + 1 ) ÷ 10 = 16. Wtedy mq+t = 16×9 + 68 = 212, co jest podzielne przez 53 (z ilorazem 4); więc 689 jest również podzielne przez 53.

Alternatywnie, każda liczba Q = 10c + d jest podzielna przez n = 10a + b, tak że gcd(n, 2, 5) = 1, jeśli c + D(n)d = An dla pewnej liczby całkowitej A, gdzie: ${\ Displaystyle D(n)\equiv {\begin{przypadki}9a+1,&{\mbox{jeśli }}n{\mbox{= 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{jeśli }}n {\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{jeśli }}n{\mbox{= 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{jeśli }}n {\mbox{=10a+9}}\end{przypadki}}\ }$

Kilka pierwszych wyrazów sekwencji, wygenerowanych przez D(n), to 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (sekwencja A333448 w OEIS ) .

Forma D(n) w formie fragmentów i generowany przez nią ciąg zostały po raz pierwszy opublikowane przez bułgarskiego matematyka Iwana Stojkowa w marcu 2020 r.

Dowody

Dowód za pomocą podstawowej algebry

Wiele prostszych reguł można stworzyć, używając jedynie manipulacji algebraicznych, tworząc dwumiany i przestawiając je. Zapisując liczbę jako sumę każdej cyfry pomnożonej przez potęgę 10, mocą każdej cyfry można manipulować indywidualnie.

Przypadek, w którym wszystkie cyfry są sumowane

Ta metoda działa dla dzielników, które są czynnikami 10 - 1 = 9.

Używając 3 jako przykładu, 3 dzieli 9 = 10 - 1. Oznacza to, że ${\ Displaystyle 10 \ równoważnik 1 {\ pmod {3}}}$ (patrz arytmetyka modularna ). To samo dla wszystkich wyższych potęg 10: ${\ Displaystyle 10 ^ {n} \ równoważnik 1 ^ {n} \ równoważnik 1 {\ pmod {3}}}$ przystające do 1 modulo 3. Ponieważ dwie rzeczy, które są przystające modulo 3, albo obie są podzielne przez 3, albo obie nie, możemy zamienić wartości, które są przystające modulo 3. Zatem w liczbie takiej jak następująca możemy zastąpić wszystkie potęgi z 10 na 1:

\ Displaystyle 100 \ cdot a + 10 \ cdot b + 1 \ cdot c \ równoważnik ( 1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}}

co jest dokładnie sumą cyfr.

Przypadek, w którym używana jest naprzemienna suma cyfr

Ta metoda działa dla dzielników, które są czynnikami 10 + 1 = 11.

Używając 11 jako przykładu, 11 dzieli 11 = 10 + 1. Oznacza to, że ${\ Displaystyle 10 \ równoważnik -1 {\ pmod {11}}}$ . Dla wyższych potęg 10 są one przystające do 1 dla potęg parzystych i przystające do -1 dla potęg nieparzystych:

{\ Displaystyle 10 ^ {n} \ równoważnik (-1) ^ {n} \ równoważnik {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ mbox {jeśli}} n {\ mbox {jest parzysta}} \\ -1, &{\mbox{if }}n{\mbox{jest nieparzyste}}\end{przypadki}}{\pmod {11}}.}

Podobnie jak w poprzednim przypadku, potęgi liczby 10 możemy zastąpić przystającymi wartościami:

a + 100 \cdot b+10\cdot c+1\cdot d\równoważnik (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}}

co jest również różnicą między sumą cyfr na pozycjach nieparzystych a sumą cyfr na pozycjach parzystych.

Przypadek, w którym liczą się tylko ostatnie cyfry

Dotyczy to dzielników, które są dzielnikiem potęgi 10. Wynika to z faktu, że wystarczająco wysokie potęgi podstawy są wielokrotnościami dzielnika i można je wyeliminować.

Na przykład w podstawie 10 czynniki 10 ¹ obejmują 2, 5 i 10. Dlatego podzielność przez 2, 5 i 10 zależy tylko od tego, czy ostatnia 1 cyfra jest podzielna przez te dzielniki. Czynniki liczby 10 ² obejmują 4 i 25, a podzielność przez te liczby zależy tylko od dwóch ostatnich cyfr.

Przypadek, w którym usuwane są tylko ostatnie cyfry

Większość liczb nie dzieli 9 lub 10 równomiernie, ale dzieli wyższą potęgę 10 ⁿ lub 10 ⁿ - 1. W tym przypadku liczba jest nadal zapisywana w potęgach 10, ale nie w pełni rozwinięta.

Na przykład 7 nie dzieli 9 ani 10, ale dzieli 98, co jest bliskie 100. Przejdź więc od

{\ Displaystyle 100 \ cdot a + b}

gdzie w tym przypadku a jest dowolną liczbą całkowitą, a b może zawierać się w przedziale od 0 do 99. Następnie

{\ Displaystyle (98 + 2) \ cdot a + b}

i znowu rozszerza

{\ Displaystyle 98 \ cdot a + 2 \ cdot a + b,}

a po wyeliminowaniu znanej wielokrotności 7, wynikiem jest

{\ Displaystyle 2 \ cdot a + b,}

czyli zasada „podwój liczbę utworzoną przez wszystkie cyfry oprócz dwóch ostatnich, a następnie dodaj dwie ostatnie cyfry”.

Przypadek, w którym ostatnia cyfra (cyfry) jest mnożona przez współczynnik

Reprezentację liczby można również pomnożyć przez dowolną liczbę względnie pierwszą w stosunku do dzielnika bez zmiany jej podzielności. Po zaobserwowaniu, że 7 dzieli 21, możemy wykonać następujące czynności:

{\ Displaystyle 10 \ cdot a + b,}

po pomnożeniu przez 2 staje się to

{\ Displaystyle 20 \ cdot a + 2 \ cdot b,}

i wtedy

{\ Displaystyle (21-1) \ cdot a + 2 \ cdot b.}

Eliminacja 21 daje

{\ Displaystyle -1 \ cdot a + 2 \ cdot b,}

a pomnożenie przez -1 daje

{\ displaystyle a-2 \ cdot b.}

Można zastosować jedną z dwóch ostatnich zasad, w zależności od tego, która jest łatwiejsza do wykonania. Odpowiadają one zasadzie „odejmij dwukrotnie ostatnią cyfrę od reszty”.

Dowód za pomocą arytmetyki modularnej

Ta sekcja zilustruje podstawową metodę; wszystkie reguły można wyprowadzić według tej samej procedury. Poniższe wymaga podstawowej znajomości arytmetyki modularnej ; dla podzielności innej niż przez 2 i 5 dowody opierają się na podstawowym fakcie, że 10 mod m jest odwracalne, jeśli 10 i m są względnie pierwsze.

Dla 2 ⁿ lub 5 ⁿ :

Należy sprawdzić tylko ostatnie n cyfr.

{\ Displaystyle 10 ^ {n} = 2 ^ {n} \ cdot 5 ^ {n} \ równoważnik 0 {\ pmod {2 ^ {n }\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}}

Reprezentowanie x jako ${\ Displaystyle 10 ^ {n} \ cdot y + z,}$

{\ Displaystyle x = 10 ^ {n} \ cdot y + z \ równoważnik z {\ pmod {2 ^ {n} \ operatorname {\ lub\ } 5^{n}}}}

a podzielność x jest taka sama jak podzielność z .

dla 7:

Ponieważ 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7) możemy wykonać następujące czynności:

Reprezentowanie x jako ${\ Displaystyle 10 \ cdot y + z,}$

{\ Displaystyle -2x \ równoważnik y-2z {\ pmod {7}},}

więc x jest podzielne przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy y - 2 z jest podzielne przez 7.

Zobacz też

^ Gardner, Martin (wrzesień 1962). „Gry matematyczne: testy, które pokazują, czy dużą liczbę można podzielić przez liczbę od 2 do 12”. Naukowy Amerykanin . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038/scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Wynika to z kryterium Pascala. Zob. Kisačanin (1998), s. 100–101
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Liczba jest podzielna przez 2 ^m , 5 ^m lub 10 ^m wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z ostatnich m cyfr jest podzielna przez tę liczbę. Zob. Richmond i Richmond (2009), s. 105
^ ^ab ^Apostoł (1976), s. 108
^ ^a ^b ^c ^d Richmond & Richmond (2009), sekcja 3.4 (testy podzielności), s. 102–108
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Richmond & Richmond (2009), sekcja 3.4 (testy podzielności), twierdzenie 3.4.3, s. 107
^ ^ab ^Kisačanin (1998), s. 101
^ Loy, Jim (1999), Divisibility Tests , zarchiwizowane z oryginału w dniu 10.10.2007, Pomnóż skrajną prawą cyfrę przez 5 i dodaj do pozostałych liczb. Jeśli ta suma jest podzielna przez 7, to pierwotna liczba jest podzielna przez 7.
^ Wells, David (1997), The Penguin słownik ciekawych i interesujących liczb , s. 51
^ Su, Francis E. „ „ Podzielność przez siedem ” Mudd Math Fun Facts ” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2019-06-13 . Źródło 2006-12-12 .
^ Strona 274, Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulas , Swami Sankaracarya, opublikowane przez Motilal Banarsidass, Varanasi, Indie, 1965, Delhi, 1978. 367 stron.
^ Dunkels, Andrejs, „Komentarze do notatki 82.53 - uogólniony test podzielności”, Mathematical Gazette 84, marzec 2000, 79-81.
^ Stoykov, Ivan (marzec 2020). "OEIS A333448" . Oeis A333448 .

Źródła

Apostoł Tom M. (1976). Wprowadzenie do analitycznej teorii liczb . Teksty licencjackie z matematyki . Tom. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3 .
Kisačanin, Branislav (1998). Problemy matematyczne i dowody: kombinatoryka, teoria liczb i geometria . Prasa plenum. ISBN 978-0-306-45967-2 .
Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). Dyskretne przejście do zaawansowanej matematyki . Czyste i stosowane teksty licencjackie. Tom. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3 .

Linki zewnętrzne

Kryteria podzielności przy przecięciu węzła
Głupie sztuczki z podzielnością Zasady podzielności dla 2–100.

[1] Gardner, Martin (wrzesień 1962). „Gry matematyczne: testy, które pokazują, czy dużą liczbę można podzielić przez liczbę od 2 do 12”. Naukowy Amerykanin . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038/scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .

[Pascal's-criterion-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Wynika to z kryterium Pascala. Zob. Kisačanin (1998), s. 100–101

[last-m-digits-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p Liczba jest podzielna przez 2 ^m , 5 ^m lub 10 ^m wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z ostatnich m cyfr jest podzielna przez tę liczbę. Zob. Richmond i Richmond (2009), s. 105

[apostol-1976-4] Apostoł (1976), s. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] Richmond & Richmond (2009), sekcja 3.4 (testy podzielności), s. 102–108

[product-of-coprimes-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Richmond & Richmond (2009), sekcja 3.4 (testy podzielności), twierdzenie 3.4.3, s. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] Kisačanin (1998), s. 101

[8] Loy, Jim (1999), Divisibility Tests , zarchiwizowane z oryginału w dniu 10.10.2007, Pomnóż skrajną prawą cyfrę przez 5 i dodaj do pozostałych liczb. Jeśli ta suma jest podzielna przez 7, to pierwotna liczba jest podzielna przez 7.

[9] Wells, David (1997), The Penguin słownik ciekawych i interesujących liczb , s. 51

[7Divis1-10] Su, Francis E. „ „ Podzielność przez siedem ” Mudd Math Fun Facts ” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2019-06-13 . Źródło 2006-12-12 .

[11] Strona 274, Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulas , Swami Sankaracarya, opublikowane przez Motilal Banarsidass, Varanasi, Indie, 1965, Delhi, 1978. 367 stron.

[12] Dunkels, Andrejs, „Komentarze do notatki 82.53 - uogólniony test podzielności”, Mathematical Gazette 84, marzec 2000, 79-81.

[auto-13] Stoykov, Ivan (marzec 2020). "OEIS A333448" . Oeis A333448 .