Premier Solinasa

W matematyce liczba pierwsza Solinasa lub uogólniona liczba pierwsza Mersenne'a jest $} jest$ pierwszą $Displaystyle$ która ma postać , gdzie $f (x$ wielomianem niskiego stopnia o małych współczynnikach całkowitych . Te liczby pierwsze umożliwiają szybkie modułowe algorytmy redukcji i są szeroko stosowane w kryptografii . Noszą one imię Hieronima Solinasa.

Ta klasa liczb obejmuje kilka innych kategorii liczb pierwszych:

• Liczby pierwsze Mersenne'a , które mają postać ${\ Displaystyle 2 ^ {k} -1}$ ,
• $}$ pseudo -Mersenne'a, które mają postać dla małych nieparzystych $displaystyle c$

Modułowy algorytm redukcji

Niech ${\ Displaystyle f (t) = t ^ {d} -c_ {d-1} t ^ {d-1} -... - c_ {0}} być wielomianem monicznym stopnia$ re { \ $d }$ ze współczynnikami w $załóżmy,$ że ${\ Displaystyle p = f (2 ^ {m})}$ jest liczbą pierwszą Solinasa. Biorąc pod uwagę liczbę $,$${\ displaystyle 2md}$$}$ znaleźć liczbę zgodną z $\ displaystyle n}$ mod ${\ displaystyle$$-$ tylko z taką liczbą bitów, jak $to$ znaczy z co .

Najpierw reprezentuj w bazie $displaystyle n}$$\ displaystyle n} : n {$ :

${\ Displaystyle n = \ suma _ {j = 0} ^ {2d-1} A_ {j} 2 ^ {mj}}$

Następnie wygeneruj macierz przez krok ${\ displaystyle d}$ -by- $displaystyle d}$$}$$X = (X_ {i, j})$ Displaystyle razy rejestr przesuwny $z$ liniowym sprzężeniem zwrotnym przez wielomian zaczynając od rejestru liczb całkowitych $d}$$displaystyle$${\ Displaystyle [0|0|...|0|1]}$ , przesuń w prawo o jedną pozycję, wstrzykując ${\ Displaystyle 0}$ po lewej stronie i dodając (pod względem składowym) wartość wyjściową razy wektor ${\ Displaystyle [c_ {0}, ..., c_ {d-1}]}$ na każdym kroku (szczegóły w [1]). niech ${\ Displaystyle X_ {i, j}}$$-1}]}$ liczbą całkowitą w $rejestrze$ na kroku th i że pierwszy wiersz $jest$ określony przez $jot$ . Wtedy jeśli oznaczymy przez ${\ Displaystyle B = (B_ {i})}$ wektor liczb całkowitych określony wzorem:

${\ Displaystyle (B_ {0}$ ,

można łatwo sprawdzić, że:

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 0} ^ {d-1} B_ {j} 2 ^ { mj}\equiv \suma _{j=0}^{2d-1}A_{j}2^{mj}\mod p}$ .

Zatem reprezentuje -bitową liczbę całkowitą przystającą do $displaystyle md$$}$$\$ .

$}$ wyborów (ponownie, patrz [1]), algorytm ten obejmuje tylko stosunkowo niewielką liczbę dodawania i odejmowania (i żadnych podziałów!), Więc może być znacznie bardziej wydajny niż naiwna redukcja modułowa fa {\ displaystyle f algorytm ( ${\ Displaystyle np \ cdot (n/p)}$ ).

Przykłady

Cztery z zalecanych liczb pierwszych w dokumencie NIST „Zalecane krzywe eliptyczne do użytku rządu federalnego” to liczby pierwsze Solinasa:

• p-192 ${\ Displaystyle 2 ^ {192} -2 ^ {64} -1}$
• p-224 ${\ Displaystyle 2 ^ {224} -2 ^ {96} + 1}$
• p-256 ${\ Displaystyle 2 ^ {256} -2 ^ {224} + 2 ^ {192} + 2 ^ {96} -1}$
• p-384 ${\ Displaystyle 2 ^ {384} -2 ^ {128} -2 ^ {96} + 2 ^ {32} -1}$

Curve448 wykorzystuje liczbę pierwszą Solinasa ${\ Displaystyle 2 ^ {448} -2 ^ {224} -1.}$

Zobacz też

• Premier Mersenne'a