Arytmetyka elementarna

Symbole dla poszczególnych podstawowych operacji elementarnych. Zaczynając od lewego górnego rogu, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jest dodawanie, dzielenie, mnożenie i odejmowanie.

Arytmetyka elementarna jest gałęzią matematyki zajmującą się podstawowymi operacjami numerycznymi, takimi jak dodawanie , odejmowanie , mnożenie i dzielenie . Jest to podstawowy przedmiot, który stanowi podstawę bardziej zaawansowanych koncepcji matematycznych. Ze względu na niski poziom abstrakcji elementarna arytmetyka jest najbardziej powszechnie nauczaną gałęzią matematyki.

Cyfry

Główny artykuł: cyfra numeryczna

Cyfry to symbole używane do przedstawiania wartości liczb w systemie liczbowym . Najczęściej używanymi cyframi są cyfry arabskie w stylu zachodnim (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), które są używane w hindusko-arabskim systemie liczbowym. System cyfr hindusko-arabskich to system notacji pozycyjnej używany do przedstawiania liczb za pomocą tych cyfr. W systemie notacji pozycyjnej wartość cyfry jest określana na podstawie jej pozycji w liczbie, przy czym wartość cyfry rośnie, gdy jej pozycja staje się bardziej znacząca. W tego typu systemie zwiększenie wartości dodatkowej cyfry obejmuje jedno lub więcej mnożeń wartością Radix , a wynik jest dodawany do wartości sąsiedniej cyfry. Na przykład w cyfrze „123” cyfra „1” ma wartość stu (1 × 100), cyfra „2” ma wartość dwóch dziesiątek (2 × 10), a cyfra „3” ma wartość trzech jedynek (3 × 1). System cyfr hindusko-arabskich jest używany na całym świecie i jest standardowym sposobem przedstawiania liczb w większości krajów.

Na elementarnej arytmetyce uczniowie zazwyczaj uczą się rozumieć wartości poszczególnych liczb całkowitych reprezentowanych za pomocą cyfr arabskich z maksymalnie siedmioma cyframi oraz wykonywać podstawowe operacje, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie za pomocą cyfr arabskich z maksymalnie czterema cyframi na numer. Pojęcia te stanowią podstawę bardziej zaawansowanych zasad matematycznych i są niezbędne w życiu codziennym. Zrozumienie i umiejętność wykonywania tych operacji jest niezbędna do odniesienia sukcesu w matematyce i jest fundamentalną częścią elementarnej arytmetyki.

Funkcja i rozmiar następnika

W elementarnej arytmetyce następnikiem liczby naturalnej (w tym zera) jest wynik uzyskany przez dodanie do tej liczby 1, natomiast poprzednikiem liczby naturalnej (bez zera) jest wynik uzyskany przez odjęcie od tej liczby 1. Na przykład następnik zera to jeden, a poprzednik jedenastu to dziesięć, czyli matematycznie: ${\ Displaystyle 0 + 1 = 1}$ i ${\ Displaystyle 11-1 = 10 }$ . Każda liczba naturalna ma następnik, a wszystkie liczby naturalne (oprócz zera) mają poprzednika.

Poprzednikiem następnika liczby jest sama liczba. Na przykład pięć jest następcą czterech, a cztery poprzednikiem pięciu. Tak więc poprzednikiem następcy czterech jest cztery.

Jeśli liczba jest następnikiem innej liczby, to mówi się, że pierwsza liczba jest większa od drugiej. Jeśli jakaś pierwsza liczba jest większa niż druga liczba, a druga liczba jest większa niż trzecia liczba, to mówi się, że pierwsza liczba jest również większa niż trzecia liczba. Na przykład 5 jest większe niż 4, a 4 jest większe niż 3, więc 5 jest większe niż 3. Jednak 6 jest większe niż 5, a zatem 6 jest również większe niż 3. Symbol „>” jest używany do oznaczenia "Lepszy niż."

Wyraża to fakt, że tak zdefiniowany porządek liczb naturalnych jest przechodni .

Jeśli dodamy do siebie dwie liczby całkowite większe od zera, to ich suma będzie większa niż jedna z nich. Przykład: trzy dodać pięć równa się osiem, więc osiem jest większe niż trzy ( 8 > 3 ), a osiem jest większe niż pięć ( 8 > 5 ). Symbolem „większego niż” jest >.

Jeśli jakaś pierwsza liczba jest większa niż druga liczba, to mówi się, że druga liczba jest mniejsza niż (<) pierwsza. Przykłady: trzy to mniej niż osiem ( 3 < 8 ) i pięć to mniej niż osiem ( 5 < 8 ). Biorąc pod uwagę parę liczb naturalnych, jeden i tylko jeden z następujących przypadków musi być prawdziwy:

• pierwsza liczba jest większa od drugiej,
• pierwsza liczba jest równa drugiej,
• pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej.

Wyraża to fakt, że porządek tak zdefiniowany na liczbach naturalnych jest całkowity lub silnie spójny.

Rachunkowość

Główny artykuł: Liczenie § Liczenie w matematyce

Liczenie to podstawowa koncepcja elementarnej arytmetyki, która polega na przypisywaniu każdemu obiektowi w zbiorze liczby naturalnej, zaczynając od 1 dla pierwszego obiektu i zwiększając o 1 dla każdego kolejnego obiektu. Proces liczenia przypisuje każdemu obiektowi w zbiorze unikalną liczbę naturalną, z wyjątkiem zera, które nie jest przypisane żadnemu obiektowi. Liczba obiektów w zbiorze jest znana jako liczba i jest równa najwyższej liczbie naturalnej przypisanej do obiektu w zbiorze.

Liczenie można również postrzegać jako proces liczenia za pomocą znaczników , który obejmuje oznaczanie każdego obiektu w zestawie. Ta metoda jest często używana do szybkiego liczenia dużych ilości obiektów.

Liczenie jest używane w różnych rzeczywistych sytuacjach, takich jak liczenie pieniędzy, odmierzanie składników w przepisie i śledzenie zapasów. Jest to jedna z kluczowych części elementarnej arytmetyki, ponieważ zrozumienie podstawowej koncepcji i umiejętność wykonywania obliczeń jest ważne, aby osiągnąć sukces w matematyce.

Przykład

Aby policzyć 7 obiektów, możemy zacząć od przypisania numeru 1 pierwszemu obiektowi, a następnie zwiększać o 1 dla każdego kolejnego obiektu. Ostateczna liczba osiągnięta podczas liczenia wszystkich obiektów to liczba lub liczba obiektów w zestawie. Ta liczba jest również znana jako liczność zbioru.

Podczas liczenia nie jest konieczne zapamiętywanie, która etykieta numeryczna odpowiada jakiemu przedmiotowi. Zamiast tego możemy skupić się na podzbiorze obiektów, które zostały już oznakowane i wykorzystać te informacje do identyfikacji obiektów nieoznakowanych. Jeśli jednak liczymy osoby, pomocne może być ich uporządkowanie i śledzenie numerycznych etykiet przypisanych do każdej osoby. To pozwala nam ustawić osoby w kolejności rosnącej etykiety numerycznej. Aby to zrobić, uczestnicy, którzy nie są pewni swojej pozycji w kolejce, mogą zapytać się nawzajem o swoje numery, a następnie odpowiednio zmienić ustawienie.

W bardziej zaawansowanej matematyce proces liczenia można traktować jako konstruowanie korespondencji jeden do jednego (lub bijekcji) między elementami zbioru a zbiorem {1, ..., n}, gdzie n jest Liczba naturalna. To ustala rozmiar zbioru jako n.

Dodatek

Główny artykuł: Dodatek

Dodawanie to operacja matematyczna, która łączy dwie liczby, zwane dodawaniami lub sumami, w celu uzyskania trzeciej liczby, zwanej sumą. Jest to podstawowa operacja, której uczy się na poziomie podstawowym i jest niezbędna do wykonywania bardziej złożonych obliczeń matematycznych. Dodawanie jest często zapisywane przy użyciu znaku plus „+” i odbywa się zgodnie z następującymi zasadami:

• Suma dwóch liczb jest równa liczbie uzyskanej przez dodanie ich poszczególnych wartości. Na przykład suma 3 i 4 wynosi 7, ponieważ 3 plus 4 równa się 7.
• Kolejność dodawania dodatków nie ma wpływu na sumę. Właściwość ta, znana jako przemienność dodawania, mówi, że suma 3 i 4 jest równa sumie 4 i 3.
• Suma dwóch liczb jest niepowtarzalna, co oznacza, że ​​istnieje tylko jedna poprawna odpowiedź na sumę dowolnej pary liczb.
• Dodawanie ma operację odwrotną, zwaną odejmowaniem, której można użyć do znalezienia różnicy między dwiema liczbami. Na przykład różnica między 7 a 3 wynosi 4, ponieważ 7 odjąć 3 równa się 4.

Dodawanie jest używane w różnych kontekstach, w tym do porównywania ilości, łączenia ilości, mierzenia i oddzielania. Ponadto można go przedstawić za pomocą symbolu „+” i jest on zgodny z właściwością przemienności, co oznacza, że ​​kolejność dodawania nie ma wpływu na sumę. Kiedy suma pary cyfr daje liczbę dwucyfrową, cyfra dziesiątek jest określana jako „cyfra przeniesienia” w algorytmie dodawania. W elementarnej arytmetyce uczniowie zazwyczaj uczą się dodawać liczby całkowite i dziesiętne, a także mogą uczyć się bardziej zaawansowanych tematów, takich jak liczby ujemne i ułamki zwykłe.

Przykład

Korzystając z liczb 653 i 274, zaczynając od kolumny jedności, stwierdzamy, że suma trzech i czterech równa się siedem.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
	6	5	3
+	2	7	4
			7

Następnie kolumna dziesiątek. Suma 5 i 7 to 12, czyli ma dwie cyfry. Ostatnia cyfra 12 jest zapisywana pod kolumną dziesiątek, podczas gdy pierwsza cyfra jest zapisywana nad kolumną setek jako cyfra przeniesienia.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
	1
	6	5	3
+	2	7	4
		2	7

Następnie kolumna setek. Suma 6 i 2 to 8, ale występuje cyfra przenoszenia, która dodana do 8 daje 9.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
	1
	6	5	3
+	2	7	4
	9	2	7

Nie ma innych cyfr do dodania, więc algorytm jest zakończony, dając w rezultacie następujące równanie:

${\ Displaystyle 653 + 274 = 927}$

Odejmowanie

Główny artykuł: Odejmowanie

Odejmowanie to proces znajdowania różnicy między dwiema liczbami, gdzie odejmowanie to liczba odejmowana, a odejmowanie to liczba odejmowana. Jest reprezentowany symbolicznie przez znak minus (-). Na przykład stwierdzenie „pięć minus trzy równa się dwa” można zapisać jako 5 - 3 = 2.

Odejmowanie nie jest przemienne, co oznacza, że ​​kolejność liczb w operacji może zmienić wynik. Na przykład 3 - 5 to nie to samo, co 5 - 3. W elementarnej arytmetyce odejmowanie jest zawsze większe niż odejmowanie, aby uzyskać wynik dodatni. Jeśli jednak odcięcie jest mniejsze niż odjęcie, wynik będzie ujemny.

Oprócz znajdowania różnicy między dwiema liczbami, odejmowanie może być również używane do rozdzielania, łączenia lub znajdowania ilości w innych kontekstach. Na przykład „Tomek ma 8 jabłek. Oddaje 3 jabłka. Ile mu zostało?” reprezentuje separację, podczas gdy „Tom ma 8 jabłek. Trzy jabłka są zielone, a pozostałe czerwone. Ile jest czerwonych?” reprezentuje kombinację. W niektórych przypadkach odejmowanie może być również użyte do znalezienia całkowitej liczby obiektów w grupie, jak w przypadku „Tomek miał trochę jabłek. Jane dała mu jeszcze 3 jabłka, więc teraz ma 8 jabłek. Od ilu zaczął?”

Istnieje kilka metod wykonywania odejmowania. Metoda, która w Stanach Zjednoczonych nazywana jest matematyką tradycyjną, uczy uczniów szkół podstawowych odejmowania metodami odpowiednimi do obliczeń ręcznych. Konkretna stosowana metoda różni się w zależności od kraju, aw danym kraju różne metody są modne w różnych okresach. Reformowana matematyka wyróżnia się generalnie brakiem preferencji dla jakiejkolwiek konkretnej techniki, zastąpionej przez kierowanie uczniami drugiej klasy do wymyślania własnych metod obliczeniowych, takich jak wykorzystanie właściwości liczb ujemnych w przypadku TERC .

Amerykańskie szkoły uczą obecnie metody odejmowania za pomocą zapożyczeń i systemu oznaczeń zwanych kulami. Chociaż metoda pożyczania była znana i opublikowana w podręcznikach wcześniej, najwyraźniej kule są wynalazkiem Williama A. Browella , który użył ich w badaniu w listopadzie 1937 r. System ten szybko się przyjął, wypierając inne stosowane metody odejmowania w Ameryce w tym czasie.

W niektórych krajach europejskich uczniowie uczą się, a niektórzy starsi Amerykanie stosują metodę odejmowania zwaną metodą austriacką, znaną również jako metoda dodawania. W tej metodzie nie ma pożyczania. Istnieją również kule (oznaczenia ułatwiające pamięć), które różnią się w zależności od kraju.

W metodzie pożyczania problem odejmowania, taki jak 86 - 39, można rozwiązać, pożyczając 10 z miejsca dziesiątek, aby dodać je do miejsca jedności w celu ułatwienia odejmowania. Na przykład, aby odjąć 9 od 6, możemy pożyczyć 10 od miejsca dziesiątek, zamieniając problem na (70 + 16) - 39. Jest to zaznaczone przez skreślenie 8, wpisanie 7 nad nią i wpisanie 1 powyżej 6. Oznaczenia te nazywane są „kulami”. 9 jest następnie odejmowane od 16, co daje wartość 7, a 30 jest odejmowane od 70, co daje wartość 40. Końcowy wynik to 47.

Metoda dodawania polega na zwiększaniu odejmowania, a nie zmniejszaniu odejmowania, jak w metodzie pożyczania. To przekształca problem w (80 + 16) - (39 + 10). Mała 1 jest zaznaczona poniżej cyfry odejmowanej jako przypomnienie. Następnie wykonywane są operacje: 9 jest odejmowane od 16, aby uzyskać 7, a 40 (30 + 10) jest odejmowane od 80, aby uzyskać wynik 40. Końcowy wynik to nadal 47.

Istnieją dwie odmiany metody dodawania, które różnią się prezentacją. W pierwszym wariancie próbujemy odjąć 9 od 6, a następnie 9 od 16, pożyczając 10 i zaznaczając ją w pobliżu cyfry odejmowania w następnej kolumnie. W drugim wariancie staramy się znaleźć cyfrę, która po dodaniu do 9 daje nam 6. Gdy nie jest to możliwe, podajemy 16 i przenosimy 10 z 16 jako 1, oznaczając ją w pobliżu tej samej cyfry, co w pierwsza metoda. Oznaczenia są takie same w obu wariantach, jest to po prostu kwestia preferencji, jak wyjaśnimy ich wygląd.

Należy zauważyć, że metoda wypożyczania może stać się bardziej złożona w przypadkach takich jak 100 - 87, gdzie konieczne jest pożyczenie z kilku kolumn. W takim przypadku odcinek można zapisać jako 90 + 10, biorąc 100 z miejsca setek, robiąc z niego dziesięć dziesiątek i natychmiast pożyczając 10 z miejsca dziesiątek i umieszczając je na miejscu jedności. Daje to wartość 9 10s na miejscu dziesiątek i wartość 10 na miejscu jedności.

Przykład

Aby znaleźć różnicę między liczbami 792 i 308, należy zacząć od kolumny jedności, w której 2 jest mniejsze niż 8, więc musimy pożyczyć 10 od 90, zamieniając 90 w 80. Dodajemy to 10 do 2, co zmienia problem do 12 - 8, czyli 4.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
		8	12
	7	9	2
−	3	0	8
			4

Następna jest kolumna dziesiątek. Ponieważ wzięliśmy 10 z 90, teraz jest 80, co oznacza, że ​​musimy znaleźć różnicę między 80 a 0, czyli tylko 80.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
		8	12
	7	9	2
−	3	0	8
		8	4

Następna jest kolumna setek. Różnica między 700 a 300 wynosi 400.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
		8	12
	7	9	2
−	3	0	8
	4	8	4

Algorytm jest zakończony i daje wynik:

${\ Displaystyle 792-308 = 484}$

Mnożenie

Główny artykuł: Mnożenie

Mnożenie jest operacją matematyczną, która odnosi się do powtarzania dodawania. Kiedy dwie liczby są mnożone razem, wynikowa wartość nazywana jest iloczynem. Mnożone liczby nazywane są czynnikami, przy czym stosuje się również mnożnik i mnożnik.

Na przykład, jeśli jest pięć toreb, z których każda zawiera trzy jabłka, a jabłka ze wszystkich pięciu toreb zostaną umieszczone w pustej torebce, pusta torba będzie zawierała 15 jabłek. Można to wyrazić jako „pięć razy trzy równa się piętnaście” lub „pięć razy trzy równa się piętnaście” lub „piętnaście to iloczyn pięciu i trzech”. Mnożenie można traktować jako formę wielokrotnego dodawania, gdzie pierwszy czynnik wskazuje, ile razy drugi czynnik jest dodawany.

Mnożenie jest reprezentowane za pomocą znaku mnożenia (×), a także gwiazdki (*) i nawiasów okrągłych (). Dlatego stwierdzenie „pięć razy trzy równa się piętnaście” można zapisać jako „5 × 3 = 15”, „5 * 3 = 15” lub „(5) (3) = 15”. W niektórych krajach iw zaawansowanej arytmetyce mogą być używane inne symbole, takie jak kropka (⋅). W algebrze, gdzie liczby mogą być symbolizowane literami, symbol mnożenia można pominąć; na przykład xy reprezentuje x × y.

Kolejność mnożenia dwóch liczb nie ma wpływu na wynik. Jest to znane jako przemienna właściwość mnożenia. W algorytmie mnożenia cyfra dziesiątek iloczynu pary cyfr jest określana jako „cyfra przenoszenia”. Aby pomnożyć parę cyfr za pomocą tabeli, należy zlokalizować przecięcie wiersza pierwszej cyfry i kolumny drugiej cyfry, w którym znajdzie się iloczyn tych dwóch cyfr. Większość par cyfr daje w wyniku liczby dwucyfrowe.

Przykład algorytmu mnożenia dla czynnika jednocyfrowego

Używając liczby 729 i 3, zaczynając od kolumny jedności, iloczyn 9 i 3 to 27. 7 jest zapisane pod kolumną jedności, a 2 jest zapisane nad kolumną dziesiątek jako cyfra przenoszenia.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
		2
	7	2	9
×			3
			7

Następnie kolumna dziesiątek. Iloczyn 2 i 3 to 6, a cyfra przeniesienia dodaje 2 do 6, więc 8 jest zapisane pod kolumną dziesiątek.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
	7	2	9
×			3
		8	7

Następnie kolumna setek. Iloczyn 7 i 3 to 21, a ponieważ jest to ostatnia cyfra, 2 nie zostanie zapisane jako cyfra przeniesienia, ale obok 1.

	Setki	Kilkadziesiąt	Jedynki
	7	2	9
×			3
2	1	8	7

Żadna cyfra mnożnej nie została nieprzemnożona, więc algorytm kończy się, dając w rezultacie następujące równanie:

${\ Displaystyle 3 \ razy 729 = 2187}$

Przykład algorytmu mnożenia dla czynników wielocyfrowych

Niech naszym celem będzie znalezienie iloczynu dwóch liczb, 789 i 345.

7	8	9
3	4	5

Pierwsza część, zaczynając od kolumny jedności, iloczyn 789 i 5 to 3945.

	7	8	9
×	3	4	5
3	9	4	5

Następnie kolumna dziesiątek. Używamy mnożnika 4, który jest w cyfrze dziesiątek. Oznacza to, że używamy mnożnika 40, a nie 4. Z tego powodu musimy dodać 0 na końcu odpowiedzi. Iloczyn 789 i 40 to 31560.

		7	8	9
	×	3	4	5
	3	9	4	5
3	1	5	6	0

Następnie kolumna setek. Ponieważ używamy mnożnika 3 i jest to cyfra setek, oznacza to, że jest to mnożnik 300, a więc iloczyn 789 i 300 to 236700.

			7	8	9
		×	3	4	5
		3	9	4	5
	3	1	5	6	0
2	3	6	7	0	0

Druga część, Teraz mamy wszystkie nasze produkty. Aby znaleźć iloczyn całkowity liczb 789 i 345, musimy znaleźć sumę wszystkich naszych produktów.

				7	8	9
×				3	4	5
			3	9	4	5
		3	1	5	6	0
+	2	3	6	7	0	0
	2	7	2	2	0	5

Odpowiedź na przykład brzmi

${\ Displaystyle 789 \ razy 345 = 272205}$ .

Dział

Główne artykuły: Podział (matematyka) i Podział długi

W matematyce , zwłaszcza w arytmetyce elementarnej , dzielenie jest operacją arytmetyczną, która jest odwrotnością mnożenia .

W szczególności, biorąc pod uwagę liczbę a i liczbę różną od zera b , jeśli inna liczba c razy b równa się a , to znaczy:

${\ displaystyle c \ razy b = a}$

wtedy a podzielone przez b równa się c . To jest:

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} = c}$

Na przykład,

${\ Displaystyle {\ Frac {6} {3}} = 2}$

od

${\ Displaystyle 2 \ razy 3 = 6}$ .

W powyższym wyrażeniu a nazywa się dywidendą , b dzielnikiem , a c ilorazem . Mówi się , że dzielenie przez zero — gdzie dzielnik wynosi zero — jest albo bezsensowne, albo nieokreślone w elementarnej arytmetyce.

Notacja podziału

Podział jest najczęściej pokazywany przez umieszczenie dywidendy nad dzielnikiem z poziomą linią, zwaną także vinculum , pomiędzy nimi. Na przykład a podzielone przez b jest zapisywane jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}}}$

Można to odczytać werbalnie jako „ a podzielone przez b ” lub „ a nad b ”. Sposobem na wyrażenie dzielenia w jednym wierszu jest zapisanie dzielnej , następnie ukośnika , a następnie dzielnika w następujący sposób:

${\ Displaystyle a/b}$

Jest to zwykły sposób określania podziału w większości języków programowania komputerów , ponieważ można go łatwo wpisać jako prostą sekwencję znaków.

Odmiana odręczna lub typograficzna - która jest w połowie drogi między tymi dwiema formami - wykorzystuje solidus ( ukośnik ułamkowy), ale podnosi dywidendę i obniża dzielnik, jak następuje:

za / b

Każda z tych form może być użyta do wyświetlenia ułamka . Ułamek wspólny to wyrażenie dzielenia, w którym zarówno dzielna, jak i dzielnik są liczbami (chociaż zwykle nazywane są licznikiem i mianownikiem ), i nie ma sugestii, że dzielenie wymaga dalszej oceny.

Bardziej podstawowym sposobem pokazania podziału jest użycie obelisa (lub znaku podziału) w następujący sposób:

${\ Displaystyle a \ div b.}$

Ta forma jest rzadka, z wyjątkiem podstawowej arytmetyki i odradzana w przypadku bardziej złożonej arytmetyki, ponieważ jest niejednoznaczna . Obelus jest również używany samodzielnie do reprezentowania samej operacji dzielenia, na przykład jako etykieta na klawiszu kalkulatora .

W niektórych kulturach nieanglojęzycznych „ a podzielone przez b ” jest zapisywane jako a : b . Jednak w języku angielskim dwukropek jest ograniczony do wyrażania powiązanej koncepcji stosunków (wtedy „ a jest do b ”).

Znając tabliczkę mnożenia , można podzielić dwie liczby na papierze metodą dzielenia długiego . Skrócona wersja dzielenia długiego, dzielenia krótkiego , może być również używana do mniejszych dzielników.

Mniej systematyczna metoda — ale prowadząca do bardziej holistycznego zrozumienia podziału w ogóle — obejmuje koncepcję porcjowania . Pozwalając na odejmowanie większej liczby wielokrotności od częściowej reszty na każdym etapie, można również opracować więcej metod swobodnych.

Alternatywnie, jeśli dywidenda ma część ułamkową (wyrażoną jako ułamek dziesiętny ), można kontynuować algorytm poza miejsce jedności tak daleko, jak to pożądane. Jeśli dzielnik ma dziesiętną część ułamkową, można ponownie przedstawić problem, przesuwając przecinek w prawo w obu liczbach, aż dzielnik nie będzie miał ułamka.

Aby podzielić przez ułamek, można po prostu pomnożyć przez odwrotność (odwracając położenie górnej i dolnej części) tego ułamka, na przykład:

${\ Displaystyle \ textstyle {5 \ div {1 \ ponad 2} = 5 \ razy {2 \ ponad 1} = 5 \ razy 2 = 10}}$

${\ Displaystyle \ textstyle {{2 \ ponad 3} \ div {2 \ ponad 5} = {2 \ ponad 3} \ razy {5 \ ponad 2 }={10 \ponad 6}={5 \ponad 3}}}$

Przykład

Znajdźmy iloraz 272 i 8. Zaczynając od cyfry setek, 2 nie jest podzielne przez 8. Musimy więc przejść do cyfry dziesiątek, 7, i dodać 20 do 7, aby otrzymać 27. Aby podzielić 27 i 8, musimy odjąć dywidendę przez największy wspólny dzielnik (NWD), czyli największą dodatnią liczbę całkowitą , która dzieli się na każdą z liczb całkowitych. NWD 27 i 8 to 24. Odjęcie 24 od 27 daje 3, więc 3 powinno być zapisane pod kolumną dziesiątek.

	2	7	2
÷			8
		3

8 jest większe niż 3, więc musimy przejść do cyfry jedności, aby kontynuować dzielenie, w którym liczba to 2. Stawiamy 3 przed 2 i otrzymujemy 32, które jest podzielne przez 8, a więc iloraz 32 i 8 to 4. 4 jest napisane pod kolumną jedności.

	2	7	2
÷			8
		3	4

Nie ma już innych cyfr i możemy sprawdzić, czy 34 jest naprawdę odpowiedzią, mnożąc iloraz przez dzielnik 8, aby uzyskać 272. W ten sposób algorytm jest zakończony i daje wynik:

${\ Displaystyle 272 \ div 8 = 34}$

Standardy edukacyjne

Podstawowa arytmetyka jest zazwyczaj nauczana na poziomie szkoły podstawowej lub średniej i podlega lokalnym standardom edukacyjnym. W Stanach Zjednoczonych i Kanadzie toczy się debata na temat treści i metod nauczania elementarnej arytmetyki. Jednym z problemów było użycie kalkulatorów w porównaniu z obliczeniami ręcznymi, a niektórzy argumentowali, że użycie kalkulatora powinno być ograniczone w celu promowania umiejętności arytmetycznych w pamięci. Inna debata koncentrowała się na rozróżnieniu między matematyką tradycyjną i reformowaną, przy czym tradycyjne metody często skupiały się bardziej na podstawowych umiejętnościach obliczeniowych, a metody reform kładły większy nacisk na pojęcia matematyczne wyższego poziomu, takie jak algebra, statystyka i rozwiązywanie problemów.

W Stanach Zjednoczonych standardy National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) z 1989 r. Doprowadziły do ​​zmiany programów nauczania szkół podstawowych, w których pomniejszono lub pominięto niektóre tematy tradycyjnie uważane za część elementarnej arytmetyki, na korzyść większego skupienia się na studiach pojęcia na poziomie podstawowym, takie jak algebra i statystyka . Ta zmiana była kontrowersyjna, a niektórzy argumentowali, że spowodowała brak nacisku na podstawowe umiejętności obliczeniowe, które są ważne dla odniesienia sukcesu na późniejszych lekcjach matematyki.

Uogólnienia

Elementarna arytmetyka jest gałęzią matematyki, która obejmuje podstawowe operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Operacje te są zwykle używane z liczbami rzeczywistymi, które tworzą pole , gdy są wyposażone w te operacje i ich odwrotności. Pole to zestaw obiektów, które można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić w sposób zgodny z oczekiwanymi regułami, takimi jak właściwości asocjacyjne i dystrybucyjne.

Chociaż liczby rzeczywiste są dobrze znanym przykładem pola, istnieje wiele innych typów pól, które mogą zachowywać się inaczej niż liczby rzeczywiste. Na przykład modularna liczba całkowita arytmetyczna modulo liczba pierwsza jest również polem. Dalsze rozluźnienie reguł arytmetyki może doprowadzić do powstania innych struktur algebraicznych, takich jak pierścienie podziału i dziedziny całkowe.

Zobacz też

• Wczesne liczenie
• Matematyka elementarna
• Kawałkowanie (podział)
• Znaki plus i minus
• Dzielenie przez zero
• Prawdziwy numer
• Wyimaginowana liczba

Linki zewnętrzne

• „Przyjazny dar nauki arytmetyki” to arabski dokument z XV wieku, który mówi o podstawach arytmetyki.