Akustyka geometryczna

Akustyka geometryczna lub akustyka promieniowa to dział akustyki zajmujący się badaniem rozchodzenia się dźwięku w oparciu o pojęcie promieni akustycznych , zdefiniowanych jako linie, po których transportowana jest energia akustyczna . Ta koncepcja jest podobna do optyki geometrycznej lub optyki promieniowej, która bada propagację światła w kategoriach promieni optycznych . Akustyka geometryczna jest teorią przybliżoną, obowiązującą w granicznym przypadku bardzo małych długości fal lub bardzo wysokich częstotliwości. Podstawowym zadaniem akustyki geometrycznej jest wyznaczanie trajektorii promieni dźwiękowych. Promienie mają najprostszą postać w ośrodku jednorodnym , gdzie są liniami prostymi. Jeśli parametry akustyczne ośrodka są funkcjami współrzędnych przestrzennych, trajektorie promieni stają się krzywoliniowe, opisując odbicie dźwięku, załamanie, możliwe ogniskowanie itp. Równania akustyki geometrycznej mają zasadniczo taką samą postać jak równania optyki geometrycznej. Te same prawa odbicia i załamania obowiązują dla promieni dźwiękowych, jak i dla promieni świetlnych. Akustyka geometryczna nie uwzględnia tak ważnych efektów falowych jak dyfrakcja . Zapewnia jednak bardzo dobre przybliżenie, gdy długość fali jest bardzo mała w porównaniu z charakterystycznymi wymiarami niejednorodnych inkluzji, przez które rozchodzi się dźwięk.

Opis matematyczny

Poniższa dyskusja pochodzi od Landaua i Lifshitza. Jeśli amplituda i kierunek propagacji zmieniają się powoli na długościach fal, to dowolną falę dźwiękową można lokalnie przybliżyć jako falę płaską. W tym przypadku potencjał prędkości można zapisać jako

{\ Displaystyle \ phi = \ operatorname {e} ^ {\ operatorname {i} \ psi}}

Dla fali płaskiej ${\ Displaystyle \ psi = {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} - \ omega t + \ alfa} , gdzie k {\$ Displaystyle $k}}}$ $\ boldsymbol$ $to$ to stały wektor liczby falowej, $stała$ częstotliwość, to wektor promienia $,$ czas a jest $zespoloną$ . Funkcja nazywa się $eikonal$ . Oczekujemy, że eikonal będzie się zmieniał powoli ze współrzędnymi i czasem zgodnymi z przybliżeniem, wtedy w takim przypadku rozwinięcie w szereg Taylora zapewnia

{\ Displaystyle \ psi = \ psi _ {o} + {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ Frac {\ częściowe \ psi}} {\ częściowe {\ boldsymbol {r}}}} + t {\ frac {\ częściowe \psi }{\częściowe t}}.}

Zrównując te dwa terminy, można stwierdzić. ${\ displaystyle \ psi}$

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {k}} = {\ Frac {\ częściowe \ psi}} {\ częściowe {\ pogrubiony symbol {r}}}}, \ quad \ omega = - {\ frac {\ częściowe \ psi }{\ częściowe t}}}

$W$ przypadku $_$ zachodzi zależność prędkością k ${\ displaystyle k}$ to wielkość wektora liczby falowej. Dlatego eikonal spełnia nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu ,

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ psi }{\częściowe x}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe \psi }{\częściowe y}}\right)^{2}+\left({\frac {\ częściowe \psi}{\częściowe z}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\częściowe \psi}}{\częściowe t}} \po prawej)^{2}=0.}

gdzie może być funkcją współrzędnych, jeśli płyn nie jest $jednorodny$ Powyższe równanie jest takie samo jak równanie Hamiltona-Jacobiego , w którym eikonal można uznać za działanie . Ponieważ równanie Hamiltona-Jacobiego jest równoważne równaniom Hamiltona , przez analogię, można to stwierdzić

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} {\ boldsymbol {k}}} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {\ częściowe \ omega } {\ częściowe {\ pogrubiony symbol {r}}}}, \ quad {\ frac {\ operatorname {d} {\ pogrubiony symbol {r}}} {\ operatorname {d} t} } = {\ frac {\ częściowe \ omega}} {\ częściowe {\ boldsymbol {k}}}}}

Praktyczne zastosowania

Praktyczne zastosowania metod akustyki geometrycznej można znaleźć w bardzo różnych dziedzinach akustyki. Na przykład w akustyce architektonicznej prostoliniowe trajektorie promieni dźwiękowych pozwalają w bardzo prosty sposób określić czas pogłosu . Działanie grubomierzy i hydrolokatorów opiera się na pomiarze czasu, w jakim promienie dźwiękowe docierają do obiektu odbijającego iz powrotem. Koncepcja promienia jest wykorzystywana przy projektowaniu systemów ogniskowania dźwięku. Również przybliżona teoria propagacji dźwięku w ośrodkach niejednorodnych (takich jak ocean i atmosfera ) została opracowana w dużej mierze na podstawie praw akustyki geometrycznej.

Metody akustyki geometrycznej mają ograniczony zakres zastosowania, ponieważ sama koncepcja promienia jest ważna tylko w tych przypadkach, w których amplituda i kierunek fali ulegają niewielkim zmianom na odległościach rzędu długości fali dźwiękowej . Mówiąc dokładniej, konieczne jest, aby wymiary pomieszczeń lub przeszkód na drodze dźwięku były znacznie większe niż długość fali . Jeśli wymiary charakterystyczne dla danego problemu stają się porównywalne z długością fali, to dyfrakcja fali zaczyna odgrywać ważną rolę, a tego nie obejmuje akustyka geometryczna.

Aplikacje

Koncepcja akustyki geometrycznej jest szeroko stosowana w aplikacjach komputerowych . Niektóre aplikacje wykorzystujące akustykę geometryczną do swoich obliczeń to ODEON, Enhanced Acoustic Simulator for Engineers i Olive Tree Lab Terrain.

Linki zewnętrzne