Algebra chiralna

W matematyce algebra chiralna jest strukturą algebraiczną wprowadzoną przez Beilinsona i Drinfelda (2004) jako rygorystyczna wersja raczej niejasnej koncepcji algebry chiralnej w fizyce. W Chiral Algebras Beilinson i Drinfeld wprowadzili pojęcie algebry chiralnej, która opiera się na kategorii pseudo-tensorowej D-modułów . Dają „niezależne od współrzędnych” pojęcie algebr wierzchołków , które są oparte na formalnych szeregach potęgowych . Algebry chiralne na krzywych są zasadniczo konformalnymi algebrami wierzchołków .

Definicja

Algebra chiralna na gładkiej krzywej algebraicznej jest prawym modułem D $,$ wyposażonym w homomorfizm modułu D ${A}}}$

$${\ Displaystyle \ mu: {\ mathcal {A}} \ boxtimes {\ mathcal {A}} (\ infty \ Delta) \ rightarrow \ Delta _ {!} {\ mathcal {A}}}$$

na ${\ Displaystyle X ^ {2}}$ i z osadzeniem , spełniając następujące warunki ${\ Displaystyle \ Omega \ hookrightarrow {\ mathcal {A}}}$

• ${\ Displaystyle \ mu = - \ sigma _ {12} \ circ \ mu \ circ \ sigma _ {12}}$ ( Symetria skośna )
• ${\ Displaystyle \ mu _ {1 \ {23 \}} = \ mu _ {\ {12 \} 3} + \ mu _ {2 \ {13\}}}$ ( Tożsamość Jacobiego )
• Mapa jednostek jest zgodna z homomorfizmem ${\ Displaystyle \ mu _ {\ Omega}: \ Omega \ boxtimes \ Omega (\ infty \ Delta) \ rightarrow \ Delta _ {!} \ Omega}$ ; to znaczy, poniższy diagram komutuje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lcl} & \ Omega \ boxtimes {\ mathcal {A}} (\ infty \ Delta) i \ rightarrow & {\ mathcal {A}} \ boxtimes {\ mathcal {A} }(\infty \Delta )&\\&\strzałka w dół &&\strzałka w dół \\&\Delta _{!}{\mathcal {A}}&\rightarrow &\Delta _{!}{\mathcal {A}}& \\\end{tablica}}}$$

gdzie $\ Delta)}$ snopów $N$ ⊠ ) $Displaystyle$$_$$przekroje$ jest snopkiem na którego są przekrojami zewnętrznego iloczynu tensorowego ${\ displaystyle { \mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}}$ z dowolnymi biegunami na przekątnej:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} \ boxtimes {\ mathcal {N}} (\ infty \ Delta) = \ varinjlim {\ mathcal {M}}\boxtimes {\mathcal {N}}(n\Delta ),}$$

${\ Displaystyle \ Omega}$ to wiązka kanoniczna i „przedłużenie przekątnej przez funkcje delta” ${\ Displaystyle \ Delta _ {!}}$ jest

$${\ Displaystyle \ Delta _ {!} {\ mathcal {M}} = {\ Frac {\ Omega \ boxtimes {\ mathcal {M}} (\ infty \ Delta)} {\ Omega \ boxtimes {\ mathcal {M} }}}.}$$

Związek z innymi algebrami

Algebra wierzchołków

Kategoria algebr $displaystyle T }$ zdefiniowana przez $równoważnym$ lub Kaca jest kategorii algebr chiralnych na w odniesieniu do T { tłumaczeń . _

Algebra faktoryzacji

Algebry chiralne można również przeformułować jako algebry faktoryzacji .

Zobacz też

• Chiralna homologia
• Chiralna algebra Liego

•    Beilinson, Aleksander ; Drinfeld, Vladimir (2004), algebry chiralne , American Mathematical Society Colloquium Publications, tom. 51, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-3528-9 , MR 2058353

Dalsza lektura

•   Franciszek, Jan; Gaitsgory, Dennis (2012). „Chiralny dwoistość Koszula” . Sel. matematyka _ Nowa seria. 18 (1): 27–87. ar Xiv : 1103.5803 . doi : 10.1007/s00029-011-0065-z . S2CID 8316715 .