Algebra permutowalna kongruencji

W algebrze uniwersalnej algebra z możliwością permutacji kongruencji jest algebrą, której kongruencje dojeżdżają do składu . Ta symetria ma kilka równoważnych charakterystyk, które nadają się do analizy takich algebr. Wiele znanych odmian algebr , takich jak różnorodność grup , składa się z algebr kongruencyjnie permutowalnych, ale niektóre, jak różnorodność krat , mają elementy, które nie są kongruencyjnie permutowalne.

Definicja

${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ operatorname {Con} (\ mathbf {A})$ pod uwagę algebrę , parę kongruencji $ZA$ mówi się, że permutują , gdy ${\ Displaystyle \ alpha \ circ \ beta = \ beta \ circ \ alpha}$ . Algebra nazywana jest permutacją kongruencji $,$ gdy każda para kongruencji permutuje $} .$ Różnorodne algebry $są$ określane jako permutowalne kongruencji , gdy $każda$ w jest permutowalna kongruencji

Nieruchomości

W 1954 roku Maltsev podał dwa inne warunki, które są równoważne z podanym powyżej, definiując kongruencyjną różnorodność algebr. To zapoczątkowało badanie odmian kongruencyjnie permutujących.

Twierdzenie (Malcew, 1954)

Załóżmy, że $to$ różnorodność algebr Następujące są równoważne:

1. Odmiana $jest$ permutowalna kongruencji
2. Swobodna algebra na generatorach w ${\ displaystyle {\ mathcal {$$}}}$ jest permutowalna kongruencji.

3. $modele q (x, y,y)\około x\około q(y,y,x)}$ .

   $($ ≈ Displaystyle {

Taki termin nazywa się terminem Maltsev , a odmiany kongruencyjnie permutujące są również znane jako odmiany Maltsev na jego cześć.

Przykłady

Większość klasycznych odmian algebry abstrakcyjnej , takich jak grupy , pierścienie i algebry Liego jest kongruencyjnie permutowalna. Każda odmiana, która zawiera operację grupową, jest kongruencyjnie permutowalna, a termin Malcewa to ${\ displaystyle xy ^ {- 1} z}$ .

Brak przykładów

Postrzegany jako siatka, łańcuch z trzema elementami nie jest kongruencyjnie permutowalny, a zatem różnorodność krat.