Algorytm Vinberga

W matematyce algorytm Vinberga jest algorytmem wprowadzonym przez Ernesta Borisowicza Vinberga w celu znalezienia podstawowej domeny hiperbolicznej grupy refleksyjnej .

Conway (1983) użył algorytmu Vinberga do opisania grupy automorfizmów 26-wymiarowej, nawet jednomodułowej sieci Lorentza II _25,1 w kategoriach sieci Leecha .

Opis algorytmu

Niech ${\ Displaystyle \ Gamma <\ operatorname {Isom} (\ mathbb {H} ^ {n})}$ będzie hiperboliczną grupą refleksyjną. Wybierz dowolny punkt ${\ Displaystyle v_ {0} \ in \ mathbb {H} ^ {n}}$ ; nazwijmy to punktem podstawowym (lub początkowym). Podstawową $jego$ stabilizatora $wielościenny$ stożek ${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ . Niech ${\ Displaystyle H_ {1}, ..., H_ {m}}$ będą ścianami tego stożka i $zewnętrznymi wektorami normalnymi$ niego. Rozważmy półprzestrzenie ${\ Displaystyle H_ {k} ^ {-} = \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {n, 1} | (x, a_ {k}) \ równoważnik 0 \}.}$

Istnieje $unikalny$$podstawowy$$.$ zawarty w i $_$ _ Jego twarze zawierające $utworzone$ przez twarze ${\ Displaystyle H_ {1}, ..., H_ {m}}$ stożka ${\ Displaystyle P_ {0}}$ . Inne twarze ${\ Displaystyle H_ {m + 1}, ...}$ i odpowiednie zewnętrzne normalne ${\ displaystyle a_ {m + 1},...}$ są konstruowane przez indukcję. Mianowicie, dla bierzemy lustro takie, że korzeń $j}}$ do niego spełnia warunki za jot ${$

(1) ${\ Displaystyle (v_ {0}, a_ {j}) <0}$ ;

(2) ${\ Displaystyle (a_ {i}, a_ {j}) \ równoważnik 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i <j}$ ;

$jest$ odległość minimalna z zastrzeżeniem ograniczeń (1) i

•    Conway, John Horton (1983), „Grupa automorfizmów 26-wymiarowej, nawet jednomodułowej sieci Lorentza”, Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693 (83) 90025-X , ISSN 0021-8693 , MR 0690711
•    Vinberg, E. B. (1975), „Niektóre arytmetyczne dyskretne grupy w przestrzeniach Lobačevskiego”, w: Baily, Walter L. (red.), Discrete subgroups of Lie groups and application to moduli (Internat. Colloq., Bombay, 1973) , Oxford University Press , s. 323–348, ISBN 978-0-19-560525-9 , MR 0422505