Analitycznie nieredukowalny pierścień

W algebrze analitycznie nieredukowalny pierścień to lokalny pierścień , którego uzupełnienie nie ma dzielników zera. Geometrycznie odpowiada to rozmaitości z tylko jedną gałęzią analityczną w punkcie.

Zański (1948) udowodnił, że jeśli lokalny pierścień rozmaitości algebraicznej jest pierścieniem normalnym , to jest on analitycznie nierozkładalny. Istnieje wiele przykładów zredukowanych i nieredukowalnych pierścieni lokalnych, które są redukowalne analitycznie, na przykład lokalny pierścień węzła nieredukowalnej krzywej, ale trudno jest znaleźć przykłady, które są również normalne. Nagata ( 1958 , 1962 , Dodatek A1, przykład 7) podał taki przykład normalnego lokalnego pierścienia noetherowskiego , który jest redukowalny analitycznie.

Przykład Nagaty

Załóżmy, że K jest ciałem o charakterystyce nie 2, a K [[ x , y ]] jest pierścieniem formalnego szeregu potęgowego nad K w 2 zmiennych. Niech R będzie podpierścieniem K [[ x , y ]] generowanym przez x , y i elementy z _n i zlokalizowane w tych elementach, gdzie

${\ Displaystyle w = \ suma _ {m> 0} a_ {m} x ^ {m}}$ jest transcendentalny nad K ( x )

${\ styl wyświetlania z_ {1} = (y + w) ^ {2}}$

${\ Displaystyle z_ {n + 1}=(z_{1}-(y+\suma_{0<m<n}a_{m}x^{m})^{2})/x^{n}}$ .

Wtedy R [ X ]/( X ² – z ₁ ) jest normalnym lokalnym pierścieniem noetherowskim, który jest redukowalny analitycznie.

•   Nagata, Masayoshi (1958), „Przykład normalnego lokalnego pierścienia, który jest redukowalny analitycznie” , Mem. kol. nauka Uniw. Kioto. Ser. Matematyka. , 31 : 83–85, MR 0097395
• Nagata, Masayoshi (1962), Lokalne pierścienie , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, tom. 13, Nowy Jork-Londyn: Interscience Publishers
•   Zariski, Oscar (1948), „Analityczna nieredukowalność rozmaitości normalnych”, Ann. z matematyki. , 2, 49 : 352–361, doi : 10.2307/1969284 , MR 0024158
•    Zański, Oskar ; Samuel, Pierre (1975) [1960], Algebra przemienna. Tom. II , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , MR 0389876