Analiza ilościowa nawrotów

Analiza ilościowa rekurencji ( RQA ) to metoda nieliniowej analizy danych (por. teoria chaosu ) do badania układów dynamicznych . Określa ilościowo liczbę i czas trwania nawrotów układu dynamicznego reprezentowanego przez jego trajektorię w przestrzeni fazowej .

Tło

Analiza kwantyfikacji nawrotów (RQA) została opracowana w celu ilościowego określenia różnie wyglądających wykresów nawrotów (RP) w oparciu o zawarte w nich struktury na małą skalę. Wykresy powtarzalności to narzędzia, które wizualizują zachowanie powtarzalności trajektorii przestrzeni fazowej układów dynamicznych : ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (i)}$

${\ Displaystyle {R} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon - \ | {\ vec {x }}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$ ,

gdzie $_$ _ _ _ $_$ _

Wykresy powtarzalności najczęściej zawierają pojedyncze kropki i linie, które są równoległe do średniej przekątnej ( linii tożsamości , LOI) lub które są pionowe/poziome. Linie równoległe do LOI nazywane są liniami ukośnymi , a struktury pionowe liniami pionowymi . Ponieważ RP jest zwykle symetryczny, linie poziome i pionowe odpowiadają sobie nawzajem, a zatem brane są pod uwagę tylko linie pionowe. Linie odpowiadają typowemu zachowaniu się trajektorii przestrzeni fazowej: podczas gdy linie ukośne reprezentują takie odcinki trajektorii przestrzeni fazowej, które przebiegają równolegle przez pewien czas, linie pionowe reprezentują odcinki, które pozostają w tej samej przestrzeni fazowej przez pewien czas.

Jeśli dostępny jest tylko szereg czasowy , przestrzeń fazową można zrekonstruować za pomocą osadzania opóźnienia czasowego (patrz twierdzenie Takensa ):

${\ Displaystyle {\ vec {x}} (i) = (u ( i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

gdzie $jest$$szeregiem$ czasowym $,$ _ _

RQA określa ilościowo struktury wykresów rekurencyjnych w małej skali, które przedstawiają liczbę i czas trwania nawrotów systemu dynamicznego. Miary wprowadzone dla RQA zostały opracowane heurystycznie w latach 1992-2002 (Zbilut i Webber 1992; Webber i Zbilut 1994; Marwan i in. 2002). W rzeczywistości są to miary złożoności . Główną zaletą analizy kwantyfikacji rekurencyjnej jest to, że może ona dostarczyć użytecznych informacji nawet w przypadku krótkich i niestacjonarnych danych, gdzie inne metody zawodzą.

RQA można zastosować do prawie każdego rodzaju danych. Jest szeroko stosowany w fizjologii , ale był również z powodzeniem stosowany w problemach inżynierii , chemii , nauk o Ziemi itp.

środki RQA

Najprostszą miarą jest współczynnik powtarzalności , czyli gęstość punktów powtarzania na wykresie powtarzalności:

${\ Displaystyle {\ tekst {RR}} = {\ Frac {1} {N ^ {2}}} \ suma _ {i, j = 1} ^ {N} {R} (i, j).}$

Częstość nawrotów odpowiada prawdopodobieństwu, że określony stan się powtórzy. Jest to prawie równe definicji sumy korelacji , gdzie LOI jest wyłączone z obliczeń.

Następną miarą jest odsetek punktów powtarzania, które tworzą ukośne linie na wykresie powtarzania o minimalnej długości ${\ Displaystyle \ ell _ {\ min}}$ :

${\ Displaystyle {\ tekst {DET}} = {\ Frac {\ suma _ {\ ell = \ ell _ { \min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

gdzie $rozkładem$ częstotliwości długości ukośnych linii (tj. liczy, ile wystąpień ma długość) P. ( ℓ ) $ell$ \ $P$ } . Miara ta nazywana jest determinizmem i jest związana z przewidywalnością układu dynamicznego , ponieważ biały szum ma wykres powtarzalności z prawie tylko pojedynczymi kropkami i bardzo małą liczbą ukośnych linii, podczas gdy proces deterministyczny ma wykres powtarzania z bardzo małą liczbą pojedynczych kropek, ale wieloma długimi ukośnymi liniami.

Liczbę punktów powtarzania, które tworzą pionowe linie, można określić ilościowo w ten sam sposób:

${\ Displaystyle {\ tekst {LAM}} = {\ Frac {\ suma _ {v = v_ {\ min} }^{N}vP(v)}{\suma _{v=1}^{N}vP(v)}},}$

gdzie $jest$ rozkładem częstotliwości długości linii pionowych, które mają co najmniej długość $_ {\$$displaystyle$ . Miara ta nazywana jest laminarnością i jest związana z ilością faz laminarnych w układzie ( nieciągłości ).

Można również zmierzyć długości linii ukośnych i pionowych. Średnia długość przekątnej linii

${\ Displaystyle {\ tekst {L}} = {\ Frac {\ suma _ {\ ell = \ ell _ {\ min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

jest powiązany z czasem przewidywalności układu dynamicznego i czasem pułapkowania , mierzącym średnią długość linii pionowych,

${\ Displaystyle TT = {\ Frac {\ suma _ {v = v _ {\ min}} ^ {N} vP (v)}{\suma _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}}$

jest związana z czasem laminarności układu dynamicznego, czyli tym, jak długo układ pozostaje w określonym stanie.

ukośnych linii jest związana z czasem, jak długie odcinki trajektorii przestrzeni fazowej przebiegają równolegle , tj. ) byłby estymatorem dodatniego maksymalnego wykładnika Lapunowa układu dynamicznego. Dlatego maksymalna długość przekątnej linii lub rozbieżność ${\ displaystyle L _ {\ max}}$

${\ Displaystyle DIV = {\ Frac {1} {L _ {\ max}}}}$

są również miarami RQA. Jednak związek między tymi miarami z dodatnim maksymalnym wykładnikiem Lapunowa nie jest tak łatwy, jak stwierdzono, ale nawet bardziej złożony (aby obliczyć wykładnik Lapunowa z RP, należy wziąć pod uwagę cały rozkład częstotliwości linii ukośnych). Rozbieżność może mieć tendencję dodatniego maksymalnego wykładnika Lapunowa, ale nie więcej. Co więcej, również RP procesów białego szumu mogą mieć naprawdę długą przekątną, choć bardzo rzadko, tylko przez skończone prawdopodobieństwo. Dlatego rozbieżność nie może odzwierciedlać maksymalnego wykładnika Lapunowa.

Prawdopodobieństwo , że ukośna linia ma dokładnie długość, można oszacować na podstawie rozkładu częstotliwości P ${$ ℓ $\ Displaystyle P (\ ell)}$$Displaystyle P (\ ell)$${\ Displaystyle p (\ ell) = {\ Frac {P (\ ell)}} {\ suma _ {\ ell = l _ {\ min}} ^ {N} P (\ ell)}}}$ . Entropia Shannona tego prawdopodobieństwa,

${\ Displaystyle {\ tekst {ENTR}} = - \ suma _ {\ ell = \ ell _ {\ min}} ^ {N } p(\ell )\ln p(\ell ),}$

odzwierciedla złożoność deterministycznej struktury w systemie. Jednak ta entropia zależy w sposób wrażliwy od numeru pojemnika, a zatem może się różnić dla różnych realizacji tego samego procesu, a także dla różnych preparatów danych.

Ostatnia miara RQA określa ilościowo przerzedzenie wykresu powtarzalności. Trend jest współczynnikiem regresji liniowej zależności między gęstością punktów powtarzania w linii równoległej do LOI a jej odległością do LOI . Dokładniej, rozważ częstość nawrotów na linii ukośnej równoległej do LOI na odległość k ( częstość nawrotów po przekątnej lub częstość nawrotów τ ):

${\ Displaystyle {\ tekst {RR}} _ {k} = {\ Frac {1} {Nk}} \ suma _{ji=k}^{Nk}{R}(i,j),}$

wtedy trend jest określony przez

${\ Displaystyle {\ tekst {TREND}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {\ tylda {N}} (i- {\ tylda {N}}/2) (RR_ {i} - \langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tylda {N}}(i-{\tylda {N}}/2)^{2}}},}$

z ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$ jako średnią wartością i ${\ Displaystyle {\ tylda {N} <N}$ . Ta ostatnia zależność powinna zapewnić uniknięcie efektów brzegowych zbyt małego zagęszczenia punktów rekurencyjnych na krawędziach wykresu rekurencyjnego. Trend pomiaru dostarcza informacji o stacjonarności systemu.

Podobnie jak współczynnik powtarzalności $\tau$, pozostałe miary oparte na liniach ukośnych (DET, L, ENTR) można zdefiniować diagonalnie. Definicje te są przydatne do badania wzajemnych powiązań lub synchronizacji między różnymi systemami (przy użyciu wykresów rekurencyjnych lub wykresów rekurencyjnych krzyżowych ).

RQA zależne od czasu

Zamiast obliczać miary RQA całego wykresu powtarzalności, można je obliczać w małych oknach przesuwających się po wykresie powtarzania wzdłuż LOI. Zapewnia to zależne od czasu miary RQA, które pozwalają wykryć np. przejścia chaos-chaos (Marwan i in. 2002). Uwaga: wybór rozmiaru okna może silnie wpłynąć na trend pomiaru .

Przykład

Schemat bifurkacji dla mapy logistycznej.

Miary RQA mapy logistycznej dla różnych ustawień parametru kontrolnego a. Miary RR i DET wykazują maksima w przejściach chaos-porządek/porządek-chaos. Miara DIV ma podobny trend jak maksymalny wykładnik Lapunowa (ale to nie to samo!). Miara LAM ma maksima w przejściach chaos-chaos ( fazy laminarne , nieciągłość ).

Zobacz też

• Wykres rekurencyjny , potężne narzędzie do wizualizacji rekurencji w systemach dynamicznych (i innych).
• Entropia gęstości okresu nawrotu , informacyjno-teoretyczna metoda podsumowywania właściwości powtarzalności zarówno deterministycznych, jak i stochastycznych układów dynamicznych.
• Przybliżona entropia

Dalsza lektura

• Marwan, N. (2008). „Historyczny przegląd wykresów powtarzających się” . Europejski Dziennik Fizyczny ST . 164 (1): 3–12. ar Xiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .
• N. Marwan, MC Romano, M. Thiel, J. Kurths (2007). „Wykresy powtarzalności do analizy złożonych systemów”. Raporty fizyczne . 438 (5–6): 237–329. Bibcode : 2007PhR...438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•   N. Marwan, N. Wessel, U. Meyerfeldt, A. Schirdewan, J. Kurths (2002). „Miary złożoności oparte na wykresach nawrotowych i ich zastosowanie do danych dotyczących zmienności rytmu serca”. Przegląd fizyczny E. 66 (2): 026702. arXiv : fizyka/0201064 . Bibcode : 2002PhRvE..66b6702M . doi : 10.1103/PhysRevE.66.026702 . PMID 12241313 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Marwan, N., Kurths, J. (2002). „Analiza nieliniowa danych dwuwymiarowych z wykresami krzyżowymi”. Fizyka Litery A. 302 (5–6): 299–307. arXiv : fizyka/0201061 . Bibcode : 2002PhLA..302..299M . doi : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•   Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). „Dynamiczna ocena systemów i stanów fizjologicznych przy użyciu strategii wykresów nawrotów”. Journal of Applied Physiology . 76 (2): 965–973. doi : 10.1152/jappl.1994.76.2.965 . PMID 8175612 . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). „Osadzenia i opóźnienia wynikające z kwantyfikacji wykresów powtarzalności”. Fizyka Litery A. 171 (3–4): 199–203. Bibcode : 1992PhLA..171..199Z . doi : 10.1016/0375-9601(92)90426-M . {{ cite journal }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
• Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). „Zastosowanie analizy ilościowej powtarzalności do badań dynamicznych systemu elektroenergetycznego”. Transakcje IEEE w systemach zasilania . 31 (1): 581–591. Bibcode : 2016ITPSy..31..581B . doi : 10.1109/TPWRS.2015.2407894 . Papier nr. TPWRS-01211-2014
• Girault, J.-M. (2015). „Powtarzanie i symetria szeregów czasowych: zastosowanie do wykrywania przejść” (PDF) . Chaos, solitony i fraktale . 77 : 11–28. Bibcode : 2015CSF....77...11G . doi : 10.1016/j.chaos.2015.04.010 .

Linki zewnętrzne

• http://www.recurrence-plot.tk/