Analogia optyczno-mechaniczna Hamiltona

Analogia optyczno-mechaniczna Hamiltona jest koncepcją fizyki klasycznej sformułowaną przez Williama Rowana Hamiltona . Można to postrzegać jako połączenie optyki Huygensa z zasadą mechaniki Jacobiego .

Według Corneliusa Lanczosa analogia była ważna w rozwoju idei fizyki kwantowej. Według Erwina Schrödingera w przypadku ruchów mikromechanicznych hamiltonowska analogia mechaniki do optyki jest niewystarczająca do leczenia dyfrakcji, co wymaga rozszerzenia jej na równanie fali wibracyjnej w przestrzeni konfiguracyjnej.

Zasada Huygensa

Rozchodzenie się światła można rozpatrywać w kategoriach promieni i czoła fal w zwykłej fizycznej przestrzeni trójwymiarowej. Można rozważyć niejednorodny ośrodek anizotropowy o płynnie rozłożonych właściwościach, które są opisane przez współczynnik załamania światła, który jest dobrze zachowaną funkcją położenia. Zasada Huygensa reguluje propagację czoła fali, ponieważ można ją wyprowadzić z zasady Fermata . Czoła fal to dwuwymiarowe zakrzywione powierzchnie. Promienie są jednowymiarowymi zakrzywionymi liniami.

Tak więc fala jest foliowanym zestawem ruchomych dwuwymiarowych powierzchni. W fizyce klasycznej definicją fali nie jest to, że jest ona wyraźnie wibracyjna.

Jedną z różnic między koncepcjami fal i cząstek jest zatem przestrzenna wymiarowość ich poruszających się obiektów.

Z jednej strony promień można uznać za orbitę cząstki światła. Sukcesywnie przebija powierzchnie fal. Kolejne przebicia można uznać za wyznaczanie trajektorii cząstki.

Z drugiej strony czoło fali można traktować jako płaską powierzchnię przemieszczenia pewnej wielkości, takiej jak natężenie pola elektrycznego, ciśnienie hydrostatyczne, gęstość liczbowa cząstek, faza oscylacji lub amplituda prawdopodobieństwa. Wtedy fizyczne znaczenie promieni jest mniej oczywiste.

Jest to dualizm falowo-cząsteczkowy dla pojedynczej cząstki w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni fizycznej lub dla fali o jakiejś właściwości ośrodka o przestrzennym rozkładzie właściwości, który jest przeważnie ciągły, ale niejednorodny.

Rozszerzona zasada Huygensa

Wychodząc poza zwykłą trójwymiarową przestrzeń fizyczną, można sobie wyobrazić bardziej wymiarową abstrakcyjną konfigurację „przestrzeni” o wymiarze wielokrotności 3. W tej przestrzeni można ponownie wyobrazić sobie promienie jako jednowymiarowe zakrzywione linie. Teraz czoła fal są hiperpowierzchniami o wymiarze o jeden mniejszym niż wymiar przestrzeni. Taka wielowymiarowa przestrzeń może służyć jako przestrzeń konfiguracyjna dla układu wielocząstkowego.

Klasyczna granica równania Schrödingera

Albert Mesjasz rozważa klasyczną granicę równania Schrödingera. Znajduje tam analogię optyczną. Trajektorie jego cząstek są prostopadłe do powierzchni o równej fazie. Pisze: „W języku optyki te ostatnie to czoła fal, a trajektorie cząstek to promienie. Stąd przybliżenie klasyczne jest równoważne przybliżeniu optyki geometrycznej: ponownie znajdujemy, jako konsekwencję równania Schrödingera , podstawowy postulat teorii fal materii”.

Historia

Analogia optyczno-mechaniczna Hamiltona odegrała rolę w myśleniu Schrödingera , jednego z twórców mechaniki kwantowej. Część 1 jego artykułu opublikowanego w grudniu 1926 r. Nosi tytuł „Hamiltonowska analogia między mechaniką a optyką”. Sekcja 1 pierwszego z jego czterech wykładów z mechaniki falowej wygłoszonych w 1928 r. Jest zatytułowana „Wyprowadzenie podstawowej idei mechaniki falowej z analogii Hamiltona między mechaniką zwykłą a optyką geometryczną”.

W krótkim artykule z 1923 roku de Broglie napisał: „Dynamika musi przejść tę samą ewolucję, jaką przeszła optyka, kiedy falowanie zajęło miejsce optyki czysto geometrycznej”. W swojej pracy magisterskiej z 1924 r., Chociaż de Broglie nie wymienił analogii optyczno-mechanicznej, napisał we wstępie: „… pojedyncza zasada, zasada Maupertuisa , a później w innej formie jako zasada najmniejszego działania Hamiltona … Fermat ” s… zasada…, którą obecnie nazywa się zwykle zasadą najmniejszego działania.… Huygens wysunął falującą teorię światła, podczas gdy Newton , odwołując się do analogii ze stworzoną przez siebie dynamiką punktu materialnego, rozwinął teorię korpuskularną, tak zwaną „teorię emisji”, która umożliwiła mu nawet wyjaśnienie, aczkolwiek z wymyśloną hipotezą, efekty uważane obecnie za efekty falowe (tj. pierścienie Newtona ).”

Zdaniem Léona Rosenfelda , bliskiego współpracownika Nielsa Bohra , „… Schrödinger [był] zainspirowany pięknym porównaniem Hamiltona mechaniki klasycznej i optyki geometrycznej…”

Pierwszy podręcznik w języku angielskim dotyczący mechaniki fal poświęca drugi z dwóch rozdziałów „Mechanice fal w odniesieniu do mechaniki zwykłej”. Wyraża opinię, że „… de Broglie i Schrödinger zmienili tę fałszywą analogię w prawdziwą, używając naturalnej jednostki lub miary działania, $h$ ,…… Musimy teraz bardziej szczegółowo przyjrzeć się teorii Hamiltona, ponieważ kiedy już uchwyci się jej prawdziwe znaczenie, krok do mechaniki falowej jest tylko krótki - rzeczywiście teraz, po zdarzeniu, wydaje się prawie sugerować.

Według jednego z podręczników: „Pierwszą część naszego problemu, a mianowicie ustalenie układu równań pierwszego rzędu spełniającego warunek symetrii czasoprzestrzennej, można rozwiązać w bardzo prosty sposób za pomocą analogii między mechaniką i optyki, która była punktem wyjścia dla rozwoju mechaniki falowej i która nadal może być wykorzystywana – z zastrzeżeniami – jako źródło inspiracji”.

Bibliografia cytowanych źródeł

Arnold VI (1974/1978). Matematyczne metody mechaniki klasycznej , przetłumaczone przez K. Vogtmanna, A. Weinsteina, Springera, Berlin, ISBN 978-1-4757-1695-5 .
Biggs, HF (1927). Mechanika falowa. Szkic wprowadzający , Oxford University Press, Londyn.
de Broglie, L. (1923). Fale i kwanty, Natura 112 : 540.
de Broglie, L. , Recherches sur la théorie des quanta (Badania nad teorią kwantową), Thesis (Paryż), 1924; de Broglie, L., Ann. fizyka (Paryż) 3 , 22 (1925). Tłumaczenie na język angielski autorstwa AF Kracklauera
Cohen, RS, Stachel, JJ, redaktorzy, (1979). Wybrane artykuły Léona Rosenfelda , D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, ISBN 978-90-277-0652-2 .
Jammer, M. (1966). Koncepcyjny rozwój mechaniki kwantowej , MGraw – Hill, Nowy Jork.
Frenkel, J. (1934). Mechanika falowa. Zaawansowana teoria ogólna , Oxford University Press, Londyn.
Kemble, KE (1937). Podstawowe zasady mechaniki kwantowej z podstawowymi zastosowaniami , McGraw-Hill, Nowy Jork.
Hamilton, WR , (1834). O zastosowaniu do dynamiki ogólnej metody matematycznej stosowanej wcześniej w optyce, British Association Report , s. 513–518, przedruk w The Mathematical Papers of Sir William Rowana Hamilton (1940), wyd. AW Conway, AJ McConnell, tom 2, Cambridge University Press, Londyn.
Lanczos, C. (1949/1970). Wariacyjne zasady mechaniki , wydanie 4, University of Toronto Press, Toronto, ISBN 0-8020-1743-6 .
Mesjasz, A. (1961). Quantum Mechanics , tom 1, przetłumaczone przez GM Temmera z francuskiego Mécanique Quantique , North-Holland, Amsterdam.
Rosenfeld, L. (1971). Ludzie i idee w historii teorii atomowej, Arch. Hist. Dokładna nauka. , 7 : 69–90. Przedrukowano na s. 266–296 w Cohen, RS, Stachel, JJ (1979).
Schrödinger, E. (1926). Falista teoria mechaniki atomów i cząsteczek, Phys. Obj. , druga seria 28 (6): 1049–1070.
Schrödinger, E. (1926/1928). Zebrane artykuły na temat mechaniki fal , przetłumaczone przez JF Shearera i WM Deans z drugiego wydania niemieckiego, Blackie & Son, Londyn.
Schrödinger, E. (1928). Cztery wykłady z mechaniki fal. Wygłoszono w Royal Institution w Londynie w dniach 5, 7, 12 i 14 marca 1928 r., Blackie & Son, Londyn.
Synge, JL (1954). Mechanika geometryczna i fale Broglie'a , Cambridge University Press, Cambridge UK.