Zasada Maupertuisa

W mechanice klasycznej zasada Maupertuisa (nazwana na cześć Pierre'a Louisa Maupertuisa ) mówi , że ścieżka, po której podąża układ fizyczny, jest najmniejsza (z odpowiednią interpretacją ścieżki i długości ). Jest to szczególny przypadek bardziej ogólnie sformułowanej zasady najmniejszego działania . Korzystając z rachunku wariacyjnego , uzyskuje się całkowe sformułowanie równań ruchu dla układu.

Sformułowanie matematyczne

${\ Displaystyle \ mathbf {q} = \ lewo (q_ {1} q$ że ​​​​prawdziwa ścieżka systemu opisana przez $uogólnione$ współrzędne ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}$ q $}}$$\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2}$ między dwoma określonymi stanami jest punktem stacjonarnym (tj. ekstremum (minimum lub maksimum) lub punkt siodłowy) skróconego funkcjonału działania

$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} [\ mathbf {q} (t)] \ {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }$$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ lewo (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {N} \ prawej)$ } sprzężone pędy współrzędnych uogólnionych, określone równaniem

$$\ Displaystyle p_ {k} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ {\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe {\ kropka { q}}_{k}}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle L (\ mathbf {q}, {\ kropka {\ mathbf {q}}}, t)}$ jest funkcją Lagrange'a dla systemu. Innymi słowy, każde zaburzenie ścieżki pierwszego rzędu powoduje (co najwyżej) zmiany drugiego rzędu w ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ . Zauważ, że skrócona akcja jest funkcją funkcyjną ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ (tj. funkcja z przestrzeni wektorowej do leżącego u jej podłoża pola skalarnego), która w tym przypadku przyjmuje jako dane wejściowe funkcję (tj. ścieżki między dwoma określonymi stanami).

Formuła Jacobiego

W przypadku wielu systemów energia kinetyczna $Displaystyle$ kwadratowa w uogólnionych prędkościach ${\ kropka {\ mathbf {q}}}}$

$${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}}} {\ kropka {\ mathbf {q}}} \ \ mathbf {M} \ {\ kropka {\ mathbf { q} }}^{\intercal}}$$

chociaż tensor masy $skomplikowaną$$być$ funkcją współrzędnych . W przypadku takich układów prosta zależność dotyczy energii kinetycznej, uogólnionych pędów i uogólnionych prędkości

$${\ Displaystyle 2T = \ mathbf {p} \ cdot {\ kropka {\ mathbf {q}}}}$$

$,$ że energia potencjalna uogólnionych Definiując znormalizowaną odległość lub $współrzędnych$ w przestrzeni

$${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ \ mathbf {M} \ d \ mathbf {q ^ {\ intercal}}}$$

można od razu rozpoznać tensor masy jako tensor metryczny . Energię kinetyczną można zapisać w postaci bezmasowej

$${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ prawej) ^ {2}}$$

Lub,

$${\ Displaystyle 2Tdt = {\ sqrt {2T}} \ ds.}$$

Dlatego skróconą akcję można zapisać

$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}}} }\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}}$$

ponieważ energia kinetyczna $} \text {tot}}}$ równa (stałej) energii całkowitej mi ${\ Displaystyle T = E _ {\ tekst {tot}} -V (\ mathbf {q}$ minus energia potencjalna ${\ Displaystyle V (\ mathbf {q})}$ . W szczególności, jeśli energia potencjalna jest stała, to zasada Jacobiego sprowadza się do minimalizacji długości ścieżki ${\textstyle s=\int ds}$ w przestrzeni współrzędnych uogólnionych, co odpowiada zasadzie najmniejszej krzywizny Hertza .

Porównanie z zasadą Hamiltona

Zasada Hamiltona i zasada Maupertuisa są czasami mylone ze sobą i obie zostały nazwane zasadą najmniejszego działania . Różnią się one od siebie na trzy ważne sposoby:

• ich definicja działania ...
  $_$ Hamiltona _ ${\ displaystyle t_ {1}}$ , t $\ displaystyle t_ {2}}$ i punktami końcowymi t 1 $\ displaystyle q_ {1}}$ , ${2}}$${\ displaystyle$ . Z kolei zasada Maupertuisa wykorzystuje skróconą całkę akcji po uogólnionych współrzędnych , zmieniających się wzdłuż wszystkich stałych ścieżek energii kończących się na i ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {q} _ {2}}$ .
• rozwiązanie, które ustalają...
  Zasada Hamiltona określa trajektorię $tylko$ kształt trajektorii we współrzędnych uogólnionych Na przykład zasada Maupertuisa określa kształt elipsy, po której porusza się cząstka pod wpływem siły centralnej odwrotnej do kwadratu, takiej jak grawitacja , ale sama w sobie nie opisuje jak cząstka porusza się po tej trajektorii. (Jednak ta parametryzacja czasu może być określona na podstawie samej trajektorii w kolejnych obliczeniach z wykorzystaniem zasady zachowania energii). Z kolei zasada Hamiltona bezpośrednio określa ruch wzdłuż elipsy jako funkcję czasu.
• ...i ograniczenia zmienności.
  $q_ {2}}$ Maupertuisa wymaga podania dwóch stanów końcowych i $displaystyle$ oraz zachowania energii wzdłuż każdej trajektorii Natomiast zasada Hamiltona nie wymaga zachowania energii, ale wymaga określenia czasów punktów końcowych i t $\ displaystyle t_$${2}}$ , a także stanów punktów końcowych t ${\ displaystyle q_ {1}}$ i ${\ displaystyle q_ {2}}$ .

Historia

Maupertuis jako pierwszy opublikował zasadę najmniejszego działania , $w$ której zdefiniował działanie jako , które miało być zminimalizowane na wszystkich ścieżkach łączących Jednak Maupertuis zastosował tę zasadę tylko do światła, a nie do materii (patrz odniesienie do Maupertuis z 1744 r. Poniżej ). Doszedł do zasady , rozważając prawo Snella dotyczące załamania światła , które Fermat wyjaśnił przez Zasada Fermata , że ​​światło porusza się po najkrótszej drodze , a nie odległości. To zaniepokoiło Maupertuisa, ponieważ uważał, że czas i odległość powinny być na równych prawach: „dlaczego światło miałoby preferować ścieżkę najkrótszego czasu nad drogą odległości?” W związku z tym Maupertuis twierdzi bez dalszego uzasadnienia, że ​​zasada najmniejszego działania jest równoważna, ale bardziej fundamentalna niż zasada Fermata , i używa jej do wyprowadzenia prawa Snella . Maupertuis wyraźnie stwierdza, że ​​światło nie podlega tym samym prawom, co przedmioty materialne.

Kilka miesięcy później, $ukazaniem$ zdefiniował współczesnej i zastosował go do ruchu cząstki, ale nie do światła (patrz odniesienie do Eulera z 1744 r. poniżej ). Euler uznał również, że zasada ta obowiązuje tylko wtedy, gdy prędkość jest funkcją tylko położenia, tj. gdy całkowita energia jest zachowana. (Współczynnik masy w działaniu i wymóg zachowania energii nie miały znaczenia dla Maupertuisa, który zajmował się tylko światłem). Euler wykorzystał tę zasadę do wyprowadzenia równań ruchu cząstki w ruchu jednostajnym, w ruchu jednostajnym i nie- jednorodnym polu siłowym oraz w centralnym polu siłowym. Podejście Eulera jest całkowicie zgodne ze współczesnym rozumieniem opisanej powyżej zasady Maupertuisa, z wyjątkiem tego, że nalegał, aby działanie zawsze było minimum, a nie punktem stacjonarnym.

Dwa lata później Maupertuis cytuje pracę Eulera z 1744 r. jako „piękne zastosowanie mojej zasady do ruchu planet” i stosuje zasadę najmniejszego działania do problemu dźwigni w równowadze mechanicznej oraz do doskonale sprężystych i doskonale nieelastycznych zderzeń ( patrz publikacja z 1746 r. poniżej ). Tak więc Maupertuis przypisuje sobie uznanie zasady najmniejszego działania jako ogólnej zasada ma zastosowanie do wszystkich systemów fizycznych (nie tylko do światła), podczas gdy dowody historyczne sugerują, że Euler był tym, który dokonał tego intuicyjnego skoku. Warto zauważyć, że definicje działania Maupertuisa i protokoły minimalizowania go w tym artykule są niespójne z nowoczesnym podejściem opisanym powyżej. Tak więc opublikowana praca Maupertuisa nie zawiera ani jednego przykładu, w którym zastosowałby on zasadę Maupertuisa (w obecnym rozumieniu).

W 1751 r. priorytet Maupertuisa dla zasady najmniejszego działania został zakwestionowany w druku ( Nova Acta Eruditorum z Lipska) przez starego znajomego, Johanna Samuela Koeniga , który zacytował list z 1707 r. rzekomo od Leibniza do Jakoba Hermanna , w którym opisano wyniki podobne do uzyskanych przez Eulera w 1744 r.

Maupertuis i inni zażądali, aby Koenig przedstawił oryginał listu w celu potwierdzenia, że ​​został napisany przez Leibniza. Leibniz zmarł w 1716 r., a Hermann w 1733 r., więc żaden z nich nie mógł ręczyć za Koeniga. Koenig twierdził, że skopiował list z oryginału należącego do Samuela Henzi i nie miał żadnych wskazówek co do miejsca pobytu oryginału, ponieważ Henzi został stracony w 1749 r. Za zorganizowanie spisku Henzi w celu obalenia arystokratycznego rządu w Bernie . W rezultacie Koenig ograniczył się do argumentowania, że ​​zasada jest błędna.

Spór miał wymiar polityczny i metafizyczny: spór Newtona z Wolffem. Pruska Akademia Nauk toczyła wówczas spór o filozofię Leibniza i Wolffa. Euler, Fryderyk Wielki, Maupertuis i Voltaire byli Newtonistami, podczas gdy Koenig był Wolfem.

W rezultacie Akademia Berlińska pod kierownictwem Eulera uznała list za fałszerstwo i jej przewodniczący Maupertuis mógł nadal domagać się pierwszeństwa za wynalezienie zasady, a Koenig nadal walczył o pierwszeństwo Leibniza.

Następnie Wolter i Fryderyk II , król pruski, zaangażowali się w kłótnię. Voltaire skomponował Diatribe du docteur Akakia („Diatribe of Doctor Akakia”), aby satyrować teorie naukowe Maupertuisa (nie ograniczając się do zasady najmniejszego działania). To bardzo rozgniewało Fryderyka, który kazał spalić wszystkie egzemplarze broszury . Następnie Voltaire opuścił Berlin i nigdy nie wrócił.

Nie poczyniono żadnych postępów aż do przełomu XIX i XX wieku, kiedy odkryto inne niezależne kopie listu Leibniza.

Zobacz też

• Mechanika analityczna
• Zasada Hamiltona
• Zasada najmniejszego ograniczenia Gaussa (opisuje również zasadę najmniejszej krzywizny Hertza )
• Równanie Hamiltona-Jacobiego

• Pierre Louis Maupertuis , Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (oryginalny tekst francuski z 1744 r.) ; Zgoda między różnymi prawami Natury, które wydawały się nie do pogodzenia (tłumaczenie angielskie)
• Leonhard Euler , Methodus inveniendi/Additamentum II (oryginalny tekst łaciński z 1744 r.) ; Methodus inveniendi/Dodatek 2 (tłumaczenie na język angielski)
• Pierre Louis Maupertuis , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (oryginalny tekst francuski z 1746 r.) ; Wyprowadzenie praw ruchu i równowagi z zasady metafizycznej (tłumaczenie angielskie)
• Leonhard Euler , Exposé dotyczy l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (oryginalny tekst francuski z 1752 r.) ; Badanie listu Leibniza (tłumaczenie na język angielski)
• König JS „De universali principio aequilibrii et motus”, Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
• JJ O'Connor i EF Robertson, „ Akademia Berlińska i fałszerstwo ”, (2003), w archiwum The MacTutor History of Mathematics .
• CI Gerhardt, (1898) „Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat”, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
• W. Kabitz, (1913) „Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes”, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , II , 632–638 .
•   H. Goldstein, (1980) Mechanika klasyczna , wyd. 2, Addison Wesley, s. 362–371. ISBN 0-201-02918-9
•     LD Landau i EM Lifshitz, (1976) Mechanika , 3. red., Pergamon Press, s. 140–143. ISBN 0-08-021022-8 (oprawa twarda) i ISBN 0-08-029141-4 (oprawa miękka)
• GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . A. Clebsch (red.) (1866); Reimer; Berlin. 290 stron, dostępne online Œuvres complètes tom 8 w Gallica-Math z Gallica Bibliothèque nationale de France .
• H. Hertz, (1896) Zasady mechaniki , w Różne dokumenty , tom. III, Macmillan.
• VV Rumyantsev (2001) [1994], „Zasada najmniejszej krzywizny Hertza” , Encyklopedia matematyki , EMS Press