Zasada najmniejszego ograniczenia Gaussa

Karola Friedricha Gaussa

Zasada najmniejszego ograniczenia to jedno wariacyjne sformułowanie mechaniki klasycznej , ogłoszone przez Carla Friedricha Gaussa w 1829 r., równoważne wszystkim innym sformułowaniom mechaniki analitycznej . Intuicyjnie mówi, że przyspieszenie układu fizycznego z ograniczeniami będzie jak najbardziej zbliżone do przyspieszenia odpowiadającego mu układu nieograniczonego.

Oświadczenie

Zasada najmniejszego ograniczenia to zasada najmniejszych kwadratów stwierdzająca, że ​​​​prawdziwe przyspieszenia układu mechanicznego o $to$ minimum ilości

${\ Displaystyle Z \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}}} \ suma _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} \ cdot \ lewo | \, {\ ddot {\ mathbf {r} }}_ {j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

gdzie j -ta cząstka ma $\$ , wektor położenia $displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}$ przyłożoną siłę niezwiązaną z ograniczeniami ${\ displaystyle \ mathbf { F} _{j}}$ działające na masę.

Notacja oznacza pochodną czasową funkcji wektorowej ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$$tj$ pozycję. Odpowiednie przyspieszenia spełniają narzucone $r}}} _$ systemu, r ¨ jot ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {j} (t), {\ kropka {\ mathbf {r}}} _ {j} (t) \}}$ .

Przypomina się, że ze względu na aktywne $siły$ reaktywne (ograniczenie) są ${\ displaystyle \ mathbf {F_ {c}} _ {j$$\ textstyle \ mathbf {R} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {j} + \$ { , układ doświadczy przyspieszenia $\ textstyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ suma _ {j = 1} ^ {n }{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$ .

Połączenia z innymi preparatami

Zasada Gaussa jest równoważna zasadzie D'Alemberta .

Zasada najmniejszego ograniczenia jest jakościowo podobna do zasady Hamiltona , która mówi, że rzeczywista droga pokonywana przez system mechaniczny jest ekstremum działania . Jednak zasada Gaussa jest prawdziwą (lokalną) minimalną , podczas gdy druga jest zasadą ekstremalną .

Zasada najmniejszej krzywizny Hertza

Henryka Hertza

Zasada najmniejszej krzywizny Hertza jest szczególnym przypadkiem zasady Gaussa, ograniczoną przez dwa warunki, że nie ma żadnych zewnętrznych sił, żadnych interakcji (które zwykle można wyrazić jako energię potencjalną) i wszystkie masy są równe. Bez utraty ogólności masy mogą być równe jedności. W tych warunkach można zapisać zminimalizowaną wielkość Gaussa

${\ Displaystyle Z = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo | {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {j} \ prawo | ^ {2}}$

Energia kinetyczna $jest$ zachowana w tych warunkach

${\ Displaystyle T \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo | {\ kropka { \mathbf {r}}}_{j}\right|^{2}}$

Ponieważ $displaystyle ds ^ {2}}$ liniowy w -wymiarowej przestrzeni współrzędnych jest zdefiniowany $\$

${\ Displaystyle ds ^ {2} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo | d \ mathbf {r} _ {j} \prawo|^{2}}$

można również zapisać zasadę zachowania energii

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ prawej) ^ {2} = 2T}$

Dzielenie przez ${\ displaystyle 2T}$$daje$ kolejną minimalną ilość Z {\ displaystyle

${\ Displaystyle K \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo | {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\prawo|^{2}}$

Ponieważ jest lokalną $krzywizną$ trajektorii w $,$ przestrzeni współrzędnych $trajektorii$ znalezieniu . najmniejszej krzywizny ( geodezyjnej ), która jest zgodna z ograniczeniami.

Zasada Hertza jest również szczególnym przypadkiem sformułowania przez Jacobiego zasady najmniejszego działania .

Zobacz też

• Równanie ruchu Appella

•   Gaussa CF (1829). „Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik” . Dziennik Crelle'a . 1829 (4): 232–235. doi : 10.1515/crll.1829.4.232 . S2CID 199545985 .
• Gaussa, CF Werke . Tom. 5. str. 23.
• Hertz, H. (1896). Zasady mechaniki . Różne dokumenty. Tom. III. Macmillan.
•   Lanczos, Korneliusz (1986). „IV §8 Zasada najmniejszego ograniczenia Gaussa”. Wariacyjne zasady mechaniki (przedruk z University of Toronto 1970, wyd. 4). Kurier Dover. s. 106–110. ISBN 978-0-486-65067-8 .
•   Papastavridis, John G. (2014). „6.6 Zasada Gaussa (obszerne leczenie)” . Mechanika analityczna: obszerny traktat o dynamice układów z ograniczeniami (red. Przedruk). Singapur, Hackensack NJ, Londyn: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. s. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4 .

Linki zewnętrzne

• [1] Współczesna dyskusja i dowód zasady Gaussa
• Zasada Gaussa w Encyklopedii Matematyki
• Zasada Hertza w Encyklopedii matematyki