BIO-LGCA

W biologii obliczeniowej i matematycznej biologiczny automat komórkowy z gazem sieciowym (BIO-LGCA) jest dyskretnym modelem poruszających się i oddziałujących czynników biologicznych, rodzajem automatu komórkowego . BIO-LGCA opiera się na automatu komórkowego typu krata-gaz (LGCA) stosowanym w dynamice płynów. Model BIO-LGCA opisuje komórki i inne ruchome czynniki biologiczne jako cząstki punktowe poruszające się po dyskretnej siatce, w ten sposób oddziałując z pobliskimi cząstkami. W przeciwieństwie do klasycznych modeli automatów komórkowych, cząstki w BIO-LGCA są definiowane przez ich położenie i prędkość. Pozwala to modelować i analizować aktywne płyny i migracje zbiorowe, w których pośredniczy głównie zmiana pędu, a nie gęstość. Zastosowania BIO-LGCA obejmują inwazję raka i progresję raka .

Definicja modelu

Podobnie jak wszystkie modele automatów komórkowych, model BIO-LGCA jest definiowany przez kratę , $\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$$,$ sąsiedztwo $N$ { $displaystyle {\ mathcal {E}}}$ i reguła ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ .

• Krata ( $definiuje$ zbiór wszystkich możliwych pozycji cząstek. Cząstki są ograniczone do zajmowania tylko określonych pozycji, zwykle wynikających z regularnej i okresowej teselacji przestrzeni. $,$ matematycznego $jest$ dyskretnym podzbiorem .
• Przestrzeń stanów ( $)$ opisuje możliwe stany cząstek w każdym miejscu sieci $\ Displaystyle \ mathbf {r} \ in {\ mathcal {L}}}$ . W BIO-LGCA wiele cząstek o różnych prędkościach może zajmować jedno miejsce w sieci, w przeciwieństwie do klasycznych modeli automatów komórkowych, w których zazwyczaj tylko jedna komórka może znajdować się jednocześnie w każdym węźle sieci. To sprawia, że ​​przestrzeń stanów jest nieco bardziej złożona niż w klasycznych modelach automatów komórkowych (patrz poniżej).
• Sąsiedztwo ( $wskazuje$ podzbiór miejsc sieciowych, który określa dynamikę danego miejsca w sieci. Cząstki oddziałują tylko z innymi cząstkami w swoim sąsiedztwie. Warunki brzegowe muszą być wybrane dla sąsiedztwa miejsc kratowych na granicy skończonych krat. Sąsiedztwa i warunki brzegowe są definiowane identycznie jak w przypadku zwykłych automatów komórkowych (patrz Automat komórkowy ).
• Reguła ( $dyktuje,$ jak cząstki poruszają się, rozmnażają lub umierają w czasie. Jak każdy automat komórkowy, BIO-LGCA ewoluuje w dyskretnych krokach czasowych. Aby symulować dynamikę systemu, reguła jest synchronicznie stosowana do każdego miejsca w sieci w każdym kroku czasowym. Zastosowanie reguły zmienia pierwotny stan obszaru sieciowego na nowy. Reguła zależy od stanów miejsc sieciowych w sąsiedztwie interakcji miejsca sieciowego, które ma być aktualizowane. W BIO-LGCA reguła jest podzielona na dwa etapy, etap interakcji probabilistycznej, po którym następuje etap deterministycznego transportu. Etap interakcji symuluje procesy reorientacji, narodzin i śmierci i jest zdefiniowany specjalnie dla modelowanego procesu. Etap transportu przenosi cząstki do sąsiednich węzłów sieci w kierunku ich prędkości. Zobacz poniżej, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Przestrzeń stanu

Podstruktura miejsca sieci BIO-LGCA z sześcioma kanałami prędkości (odpowiadającymi sześciokątnej sieci 2D) i pojedynczym kanałem spoczynkowym. W tym przypadku ${\ displaystyle b = 6}$ , ${\ displaystyle a = 1}$ i nośność ${\ displaystyle K = 7}$ . Kanały 2, 3, 6 i 7 są zajęte, więc konfiguracja sieci to ${\ Displaystyle \ mathbf {s} = (0,1,1,0,0, 1,1)}$ , a liczba cząstek wynosi ${\ Displaystyle n \ lewo (\ mathbf {s} \ prawej) = \ suma _ {i = 1} ^{K}s_{i}=4}$ .

Aby jawnie modelować prędkości cząstek, zakłada się, że miejsca sieci mają określoną podstrukturę. Każde miejsce w sieci $do$ z sąsiednimi miejscami w sieci za pomocą wektorów zwanych „kanałami prędkości”, $Displaystyle \ mathbf {c} _ {i}}$ , ${\ Displaystyle i \ in \ {1,2, \ ldots, b \}}$ , gdzie liczba kanałów prędkości jest równa ${\ displaystyle b}$ do liczby najbliższych sąsiadów, a zatem zależy od geometrii sieci ( $}$ 2 { $2$ i tak dalej). W dwóch wymiarach kanały prędkości są definiowane jako do ${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {i} = \ lewo (\ cos {\ frac {$ . $\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {i} = (0,0)}$ dowolną liczbę $ja$ zwanych „kanałów spoczynkowych”, tak że do ja $in \ {b + 1, b + 2, \ ldots, b + a \}}$ . Mówimy, że kanał jest zajęty, jeśli w miejscu sieci znajduje się cząstka z prędkością równą prędkości kanału. Zajęcie kanału $}$ wskazywane przez liczbę zajętości ${\ Displaystyle s_ {i$ . Zazwyczaj zakłada się, że cząstki przestrzegają zasady wykluczenia , tak że nie więcej niż jedna cząstka może jednocześnie zajmować jeden kanał prędkości w miejscu sieci. W tym przypadku liczby zawodów są zmiennymi boolowskimi, tj. ${S}} = \ {0,1 \}}$ mathcal witryna ma maksymalną nośność ${\ Displaystyle K = a + b}$ . Ponieważ zbiór wszystkich numerów zajętości kanałów określa liczbę cząstek i ich prędkości w każdym miejscu sieci, wektor ${\ Displaystyle \ mathbf {s} = \ lewo (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {K} \ right)}$ opisuje stan witryny kratowej, a przestrzeń stanów jest określona przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = {\mathcal {S}}^{K}}$ .

Dynamika reguł i modeli

Stany każdego miejsca w sieci są aktualizowane synchronicznie w dyskretnych krokach czasowych, aby symulować dynamikę modelu. Reguła jest podzielona na dwa etapy. Etap interakcji probabilistycznej symuluje oddziaływanie cząstek, podczas gdy etap transportu deterministycznego symuluje ruch cząstek.

Krok interakcji

W zależności od konkretnego zastosowania, etap interakcji może składać się z operatorów reakcji i/lub reorientacji.

Operator reakcji $Displaystyle$ stan węzła nowym stanem $\ mathbf {s$$} ^ {\ mathcal {s$ po prawdopodobieństwie przejścia ${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ rightarrow \ mathbf {s} ^ {\ mathcal {A}} \ prawo |\mathbf {s} _ {\ mathcal {N}} \ right)}$ , co zależy od stanu sąsiednich miejsc sieci ${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {\ mathcal {N}}}$ do symulacji wpływ sąsiednich cząstek na proces reaktywny. Operator reakcji nie zachowuje liczby cząstek, co pozwala symulować narodziny i śmierć osobników. Prawdopodobieństwo przejścia operatora reakcji jest zwykle definiowane ad hoc na podstawie obserwacji fenomenologicznych.

Operator reorientacji zastępuje również stan nowym stanem ${\ Displaystyle \ mathbf$${$$} ^ {\ mathcal {O$ z prawdopodobieństwem ${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s} ^ {\ mathcal {O}} \ prawo | \ mathbf { s} _ {\mathcal {N}}\right)}$ . Jednak ten operator zachowuje liczbę cząstek i dlatego tylko modeluje zmiany prędkości cząstek poprzez redystrybucję cząstek między kanałami prędkości. Prawdopodobieństwo przejścia dla tego operatora można wyznaczyć na podstawie obserwacji statystycznych (za pomocą zasady maksymalnego kalibru ) lub znanej dynamiki pojedynczej cząstki (za pomocą dyskretyzowanego kątowego rozkładu prawdopodobieństwa w stanie ustalonym podanego przez równanie Fokkera-Plancka powiązane z równaniem Langevina opisujący dynamikę reorientacji) i zazwyczaj przybiera formę

$${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\ left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal { W porządku)}}$$

gdzie jest stałą normalizacji (znaną również jako funkcja podziału ), ${\ Displaystyle H \ lewo (\ mathbf {s} _ {\ mathcal {N}} \$$N$ } funkcja podobna do energii, którą cząstki prawdopodobnie będą $minimalizować$ podczas zmiany kierunku ruchu, wolnym parametrem odwrotnie proporcjonalnym do losowości reorientacji cząstek (analogicznie do odwrotnej temperatury w termodynamice) i ${\ Displaystyle \ delta _ {n \ lewo (\ mathbf {s} \ prawej), n \ lewo (\ mathbf {s} ^ {\ mathcal {O}} \ prawej)}}$ n ${$$s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ ) \ lewo pozostaje bez zmian.

Stan uzyskany z zastosowania operatora reakcji i reorientacji jest znany jako konfiguracja po interakcji ${\ Displaystyle \ mathbf {s} ^ {{\ mathcal {O}} \ circ {\ mathcal {A}}}}$ i oznaczony przez ${\ Displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ mathcal {I}}: = \ mathbf {s} ^ {{\ mathcal {O}} \ circ {\ mathcal {A }}}}$ .

Dynamika modelu BIO-LGCA. W każdym kroku czasowym numery zajętości są zmieniane stochastycznie przez operatory reakcji i/lub reorientacji we wszystkich miejscach sieci jednocześnie podczas kroku interakcji. Następnie cząstki są deterministycznie przemieszczane do tego samego kanału prędkości w sąsiednim węźle w kierunku ich kanału prędkości podczas etapu transportu. Kolory na szkicu służą do śledzenia dynamiki cząstek poszczególnych węzłów. Ten szkic zakłada regułę zachowania cząstek (brak operatora reakcji).

Etap transportu

Po etapie interakcji deterministyczny etap transportu jest stosowany synchronicznie do wszystkich miejsc w sieci. Etap transportu symuluje ruch czynników zgodnie z ich prędkością, dzięki samonapędowi żywych organizmów.

W tym kroku numery zajętości stanów pointerakcyjnych zostaną zdefiniowane jako nowe stany zajętości tego samego kanału sąsiedniego miejsca sieciowego w kierunku kanału prędkości, tj. ${\ Displaystyle s_ {i} (\ mathbf {r} + \ mathbf {c} _ {i}) = s_ {i} ^ {\ mathcal {I}} (\ mathbf {r})}$ .

Nowy krok czasowy rozpoczyna się, gdy wystąpiły zarówno etapy interakcji, jak i transportu. Dlatego dynamikę BIO-LGCA można podsumować jako stochastyczne równanie mikrodynamiczne różnic skończonych

$${\ Displaystyle s_ {i} (\ mathbf {r} + \ mathbf {c} _ {i}, k + 1)$$

Przykładowa dynamika interakcji

Sześciokątny model polarnego roju BIO-LGCA. W tym modelu komórki preferencyjnie zmieniają swoje prędkości, aby były równoległe do pędu sąsiedztwa. Witryny kratowe są kolorowane zgodnie z ich orientacją, zgodnie z kołem kolorów . Puste witryny są białe. Zastosowano okresowe warunki brzegowe.

Prawdopodobieństwo przejścia dla operatora reakcji i/lub reorientacji musi być zdefiniowane, aby odpowiednio symulować modelowany system. Niektóre elementarne interakcje i odpowiadające im prawdopodobieństwa przejścia wymieniono poniżej.

Przypadkowy spacer

W przypadku braku jakichkolwiek bodźców zewnętrznych lub wewnętrznych komórki mogą poruszać się losowo bez preferencji kierunkowych. W takim przypadku operator reorientacji można zdefiniować za pomocą prawdopodobieństwa przejścia

$${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s} ^ {\ mathcal { O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s}),n\left(\mathbf {s} ^ {\mathcal {O}}\right)}}{Z}}}$$

Sześciokątny model pobudliwych ośrodków BIO-LGCA. W tym modelu operator reakcji faworyzuje szybką reprodukcję cząstek w kanałach prędkości i powolną śmierć cząstek w kanałach spoczynkowych. Cząstki w kanałach spoczynkowych hamują reprodukcję cząstek w kanałach prędkości. Operator reorientacji jest operatorem błądzenia losowego w tekście. Miejsca sieciowe są jaskrawo zabarwione, im więcej jest ruchomych cząstek. Cząstki w stanie spoczynku nie są pokazane. Zastosowano okresowe warunki brzegowe.

Z ${\ Displaystyle Z = \ suma _ {\ mathbf {s} ^ {\ mathcal {O}}} \ delta _ {n \ lewo (\$ . Takie prawdopodobieństwo przejścia pozwala na dowolną konfigurację po reorientacji z taką samą liczbą cząstek jak konfiguracja przed reorientacją $s}}}$$O {\ Displaystyle \ mathbf {s} ^ {\$ , do zbierania równomiernie .

Prosty proces narodzin i śmierci

Jeśli organizmy rozmnażają się i umierają niezależnie od innych osobników (z wyjątkiem ograniczonej pojemności), to można symulować prosty proces narodzin/śmierci z prawdopodobieństwem przejścia określonym przez

$${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s} ^ {\ mathcal {A}} \ prawo | \ mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right )-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s } ^{\mathcal {A}}\right)\right]}$$

gdzie ${\ Displaystyle r_ {b}, r_ {d} \ w [0,1]}$ , ${\ Displaystyle r_ {b} + r_ {d } \ leq 1} to odpowiednio stałe$$,$ , delta Kroneckera, która zapewnia, że ​​tylko jedno zdarzenie narodzin/śmierci ma miejsce na każdym kroku $\ Theta (x)}$$nośność$ to funkcja Heaviside'a , która zapewnia, że ​​liczba cząstek jest dodatnia i ograniczona przez .

Kwadratowy model BIO-LGCA komórek oddziałujących adhezyjnie. Komórki poruszają się preferencyjnie w kierunku gradientu gęstości komórek. Miejsca sieciowe są zabarwione coraz ciemniejszymi niebieskimi kolorami wraz ze wzrostem gęstości komórek. Puste węzły mają kolor biały. Stosowane są okresowe warunki brzegowe.

Interakcje adhezyjne

Komórki mogą przylegać do siebie przez cząsteczki kadheryny na powierzchni komórki. Interakcje kadheryny umożliwiają komórkom tworzenie agregatów. Tworzenie agregatów komórek za pomocą adhezyjnych biomolekuł można modelować za pomocą operatora reorientacji z prawdopodobieństwem przejścia zdefiniowanym jako

$${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s } ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G } \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]}$$

Kwadratowy model BIO-LGCA komórek pośrednio oddziałujących chemotaktycznie . W tym modelu komórki wytwarzają dyfuzyjny chemoatraktant o określonym okresie półtrwania . Komórki preferencyjnie poruszają się w kierunku gradientu chemoatraktantu. Miejsca sieciowe są addytywnie zabarwione ciemniejszym odcieniem niebieskim wraz ze wzrostem gęstości komórek i ciemniejszym odcieniem żółtym wraz ze wzrostem stężenia chemoatraktantu. Puste miejsca kratowe są w kolorze białym. Zastosowano okresowe warunki brzegowe.

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {G} \ lewo (\ mathbf {s} _ {\ mathcal {N}} \ prawej)} jest$ wektorem skierowanym w kierunku maksymalnej gęstości komórek, zdefiniowanej jako ${\ Displaystyle \ mathbf {G} \ lewo (\ mathbf {s} _ {\ mathcal {N}} \ prawej) = \sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\ mathcal {N}} ^ {\ mathbf {r} '} \ prawej)}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {s} _ {\ mathcal {N}} ^ {\ mathbf {r} '}}$ jest konfiguracją sieci kratowej $Displaystyle \ mathbf$ sąsiedztwie i $J}$$\$ to pęd konfiguracji po reorientacji, zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\ matematyka {c} _ {j}}$ . To prawdopodobieństwo przejścia faworyzuje konfiguracje po reorientacji z komórkami poruszającymi się w kierunku gradientu gęstości komórek.

Analiza matematyczna

Ponieważ dokładne traktowanie stochastycznego modelu opartego na czynnikach szybko staje się niewykonalne ze względu na korelacje wysokiego rzędu między wszystkimi czynnikami, ogólną metodą analizy modelu BIO-LGCA jest przekształcenie go w przybliżone, deterministyczne równanie różnic skończonych (FDE) opisujące średnią dynamikę populacji, a następnie wykonanie analizy matematycznej tego przybliżonego modelu i porównanie wyników z oryginalnym modelem BIO-LGCA .

${m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)}$ + $\ mathbf {c} _$ Otrzymuje się

$${\ Displaystyle f_ {m} \ lewo (\ mathbf {r} + \ mathbf {c} _ {m}, k +1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle }$$

gdzie ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$ oznacza oczekiwaną wartość i ${\ Displaystyle f_ {m} \ lewo (\ mathbf {r},k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r},k\right)\right\rangle} to oczekiwana wartość$ m $\displaystyle m}$ -th numer zajętości kanału w miejscu kraty $kroku$ czasowym ${\ displaystyle k}$ . Jednak termin po prawej stronie ${\ Displaystyle \ lewo \ langle s_ {m} ^ {\ mathcal {I}} \ lewo (\ mathbf {r}, k \ prawej) \right \ rangle } jest wysoce nieliniowy pod względem liczby zajętości$$r$ miejsca sieciowego, jak i miejsc sieciowych w sąsiedztwie interakcji , ze względu na: $\ displaystyle \ mathbf {r}}}$ P. ${\ Displaystyle P \ lewo (\ lewo. \ mathbf {s} \ strzałka w prawo \ mathbf {s} ^ {\ mathcal {I}} \ prawo |$ i statystyki rozmieszczenia cząstek w kanałach prędkości (na przykład wynikające z zasady wykluczenia nałożonej na zajęcie kanału). Ta nieliniowość skutkowałaby korelacjami i momentami wysokiego rzędu między wszystkimi zaangażowanymi kanałami. Zamiast tego zwykle przyjmuje się przybliżenie pola średniego, w którym pomija się wszystkie korelacje i momenty wysokiego rzędu, tak że bezpośrednie oddziaływania cząstka-cząstka są zastępowane przez oddziaływania z odpowiednimi wartościami oczekiwanymi. Innymi słowy, jeśli ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ są zmiennymi losowymi i ${\ displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }$ jest funkcją, więc ${\ Displaystyle \ lewo \ langle F \ lewo (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n} \ prawo) \ prawo \ rangle \ około F \ lewo ( \left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)} poniżej tego przybliżenia$ . W ten sposób możemy uprościć równanie do

$${\ Displaystyle f_ {m} \ lewo (\ mathbf {r} + \ mathbf {c } _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\ mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)}$$

gdzie do $\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \ lewo (\ mathbf {f} \ lewo (\ mathbf {r}, k \ prawej), \mathbf {f} _ {\ mathcal {N}} \ lewo (\ mathbf {r}, k \ prawej) \ prawej)} jest$ nieliniową funkcją oczekiwanej konfiguracji witryny kratowej ${\ Displaystyle \ mathbf {f} \ lewo (\ mathbf {r}, k \ prawej)}$ i oczekiwanej konfiguracji sąsiedztwa ${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {\ mathcal {N}} \ lewo (\ mathbf {r} ,k\right)}$ zależne od prawdopodobieństw przejścia i statystyk cząstek w węźle.

$i$ FDE można zidentyfikować kilka jednorodnych stanów ustalonych lub stałych niezależnych od ${\ Displaystyle {\ bar {f}} _ {m}}$ k $\ displaystyle \ displaystyle k}$ , które są rozwiązaniami dla FDE. Aby zbadać warunki stabilności tych stanów ustalonych i potencjał tworzenia wzorców modelu, można przeprowadzić liniową analizę stabilności . Aby to zrobić, nieliniowa FDE jest linearyzowana jako

$${\ Displaystyle f_ {m} \ lewo (\ mathbf {r} + \ mathbf {c} _ {m}, k + 1 \ prawej) = \ suma _ {j =1}^{K}\left.{\frac {\częściowe {\mathcal {C}}}{\częściowe f_{j}\left(\mathbf {r},k\right)}}\right|_ {\mathrm {ss}}f_{j}\left(\mathbf {r},k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\ lewo.{\frac {\częściowo {\mathcal {C}}}{\częściowo f_{j}\lewo(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\prawo)}}\prawo |_{\mathrm {ss}}f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {ss}}$ oznacza jednorodny stan ustalony ${\ Displaystyle f_ {m} \ lewo (\ mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}} i przyjęto sąsiedztwo$ von Neumanna . Aby rzucić to w bardziej znane równanie różnic skończonych tylko z przyrostami czasowymi, po obu stronach równania można zastosować dyskretną transformatę Fouriera . Po zastosowaniu twierdzenia o przesunięciu i wyodrębnieniu wyrazu z przyrostem czasowym po lewej stronie otrzymuje się równanie kraty-Boltzmanna

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} _ {m} \ lewo (\ mathbf {q}, k + 1 \ prawej) =e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\suma _{j=1}^{K }\left[\left.{\frac {\częściowe {\mathcal {C}}}{\częściowe f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\częściowe {\mathcal {C}}}{\częściowe f_{j}\left(\mathbf {r} + \mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\kapelusz {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}}$$

gdzie ${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ jest jednostką urojoną , ${\ Displaystyle L}$ jest rozmiarem siatki wzdłuż jednego wymiaru, ${\ Displaystyle \ mathbf {q} \ w \ {1,2, \ ldots, L \} ^ {d}} jest$ liczbą falową Fouriera i ${\ Displaystyle {\ hat { \cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}}$ oznacza dyskretną transformatę Fouriera. W notacji macierzowej to równanie jest uproszczone do ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {f}}} \ lewo (\ mathbf {q}, k + 1 \ prawej) = \ Gamma {\ hat {\ mathbf {f}}} \ lewo (\ mathbf {q}, k \ prawej)} , gdzie macierz nazywana jest propagatorem Boltzmanna Γ {$ \ Displaystyle \ $}$ i jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle \ Gamma _ {m, j} = e ^ {- {\ Frac {2 \ pi i} {L}} \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {c} _ {m}} \ lewo [\ left.{\frac {\częściowy {\mathcal {C}}}{\częściowy f_{j}\left(\mathbf {r},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss}}+ \sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\częściowe {\mathcal {C}}}{\częściowe f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\prawo].}$$

Wartości własne propagatora Boltzmanna dyktują właściwości stabilności stanu ustalonego: ${\ Displaystyle \ lambda \ lewo (\ mathbf {q} \ prawej)}$

• Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo | \ lambda \ lewo (\ mathbf {q} \ prawo) \ prawo |> 1}$ gdzie $|\ cdot |}$$Displaystyle$ oznacza moduł , a następnie perturbacje o liczbie falowej z czasem. Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo | \ lambda \ lewo (\ mathbf {q} _ {\ operatorname {max}} \ prawo) \ prawo |> 1}$ i ${\ Displaystyle \ lewo | \ lambda \ lewo (\ mathbf {q} _ {\ operatorname {max}} \ prawej) \ prawo | \ geq \ lewo | \ lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|\forall \mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}} , potem perturbacje o liczbie$ falowej ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {\ operatorname {max}}} będzie dominować i$ obserwowane będą wzory o wyraźnej długości fali . W przeciwnym razie stan ustalony jest stabilny, a wszelkie zaburzenia zanikają.
• za ${\ Displaystyle \ operatorname {arg} \ lewo [\ lambda \ lewo (q \ prawo) \ prawo] \ neq 0}$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathrm {arg} (\cdot )}$ oznacza argument , następnie perturbacje są transportowane i obserwowane są niestacjonarne zachowania populacji. W przeciwnym razie populacja będzie wyglądać na statyczną na poziomie makroskopowym.

Aplikacje

Konstruowanie BIO-LGCA do badania zjawisk biologicznych obejmuje głównie zdefiniowanie odpowiednich prawdopodobieństw przejścia dla operatora interakcji, poprzez precyzyjne definicje przestrzeni stanów (na przykład w celu uwzględnienia kilku fenotypów komórkowych), warunków brzegowych (do modelowania zjawisk w warunkach ograniczonych) , sąsiedztwo (w celu ilościowego dopasowania eksperymentalnych zakresów interakcji) i nośność (w celu symulacji efektów stłoczenia dla danych rozmiarów komórek) mogą być ważne dla określonych zastosowań. Podczas gdy rozkład operatora reorientacji można uzyskać za pomocą wyżej wymienionych metod statystycznych i biofizycznych, rozkład operatorów reakcji można oszacować na przykład na podstawie statystyk eksperymentów in vitro .

Modele BIO-LGCA zostały wykorzystane do zbadania kilku zjawisk komórkowych, biofizycznych i medycznych. Niektóre przykłady obejmują:

• Angiogeneza : eksperyment in vitro z komórkami śródbłonka i obserwacjami symulacyjnymi BIO-LGCA zostały porównane w celu określenia procesów zachodzących podczas angiogenezy i ich wagi. Odkryli, że adhezja, wyrównanie, kierowanie kontaktem i ECM są zaangażowane w angiogenezę, podczas gdy interakcje dalekiego zasięgu nie są kluczowe dla tego procesu.
• Aktywne płyny : makroskopowe właściwości fizyczne populacji cząstek oddziałujących poprzez interakcje wyrównania biegunowego zbadano za pomocą modelu BIO-LGCA. Stwierdzono, że zwiększenie początkowej gęstości cząstek i siły oddziaływania skutkuje przejściem fazowym drugiego rzędu ze stanu jednorodnego, nieuporządkowanego do uporządkowanego, wzorzystego, ruchomego stanu.
• Epidemiologia : przestrzenny model SIR BIO-LGCA wykorzystano do zbadania wpływu różnych strategii szczepień oraz efektu zbliżenia epidemii przestrzennej do modelu nieprzestrzennego. Odkryli, że strategie szczepień barierowych są znacznie skuteczniejsze niż strategie szczepień jednorodnych przestrzennie. Ponadto odkryli, że modele nieprzestrzenne znacznie przeszacowują tempo infekcji.
• Zakleszczanie komórek : modele in vitro i Bio-LGCA wykorzystano do badania przerzutów w raku piersi. Model BIO-LGCA ujawnił, że przerzuty mogą wykazywać różne zachowania, takie jak losowe stany przypominające gaz, zakleszczone ciało stałe i skorelowane stany przypominające płyn, w zależności od poziomu adhezji między komórkami, gęstości ECM i interakcji komórka-ECM.

Linki zewnętrzne

• Bio-LGCA Simulator - Symulator online z elementarnymi interakcjami z personalizowanymi wartościami parametrów.
• BIO-LGCA Python Package — pakiet Pythona typu open source do implementacji symulacji modeli BIO-LGCA.